双金属环形碟片体积热能计算公式的推导及其运用.doc

双金属环形碟片体积热能计算公式的推导及其运用

杭州泛博电器有限公司 浙江 富阳 311400 陈荣泉

摘要：文章从一般通电导体的温升公式推导出双金属环形碟片动作时的体积热能计算公式。

电冰箱（空调）用热保护器，其最基本的原理是依据通电导体的发热。当发热量达到使热保护器内双金属环形（梅花形）碟片动作的体积热能后，双金属碟片迅速突变反跳，从而切断电源。它将电流的变化，转换成体积热能，最终以温度变化的形式表现出来。其本质是热双金属片。无论是电冰箱用热保护器（复合加热方式）还是空调用热保护器（直接加热方式），在设计热保护器电流特性时，都涉及到双金属碟片的体积热能。
众所周知，通电导体的温升，可用一般导体温升公式进行计算：
T- T0 = 0.24I2Rt / BC (℃ ) ……………………………………………(1)
其中T - T0：温度变化，（℃）；
I：通电电流，（A）；
R：电阻，（Ω）；
t: 通电时间，（Ｓ）；
B: 质量, (ｇ);
C: 比热，[cаI/（g﹒k）]。
由于Q= 0.24I2Rt 很显然Q = BC（T-T0）
即Q = BC（T-T0）= 0.24I2Rt （cаI） ……………………………(2)
那么，针对具体形状尺寸的双金属环形碟片，它的体积热能应该如何确立
1
呢？
从上面公式可以看出，对双金属环形碟片来讲，体积热能的求取，其实就是它的电阻值的求取。深入一步研究发现，也就是对双金属碟片材料电阻率的求取。
我们来看图1的圆环，并在直径处对开分成上下两片。大家知道，一般条形
Ｌ
导体的电阻计算方法，可按Ｒ=ρ―— 进行， 其电阻值和导体的电阻率成正比，
Ｓ
和它的长度成正比，和它的截面积成反比。对开的两个半片，长度不能取其外圆的一半，也不能取其内圆的一半，而只能取其中间值的一半。
即L = r′π
R-r
而r′= —— + r
2

D d
—— - ——
2 2 d
即r′= —————— + —
2 2

D+d
= ——
4

π(D+d)
则L = ———
4

而截面Ѕ = δ（R-r）

D d
即Ѕ = δ(—— - ——)
2 2

δ(D-d)
= ———
2

由于环形碟片的电阻值是两个半环的并联值，

2
π(D+d)
———
１ ４
故Ｒ= —×ρ——————
2 δ(D-d)
———
2

ρπ((D+d)
R = —————— (Ω) ……………………………………………(3)
4×103δ(D-d)

其中ρ：电阻率， （Ω·mm2/m）;

D: 环形碟片的外径，（mm）;

d:: 环形碟片的内径，（mm）;

δ：环形碟片的厚度，（mm）;

103：将“m” 换算成 “mm” √的一个系数。

将(３)代入(２)式，得双金属环形碟片体积热能的表达公式：

0.24Ｉ2ρπt(D+d)
Q0 = BC（T-T0）= ———————— (cаI)
4×103δ(D-d)

而质量B = FδW (ｇ)

D d D 2- d 2
面积F = π［(—)2-(—)2]=π·————
2 2 4

πδW(D 2- d 2)
故B = —————— (ｇ) ……………………………………………(4)
4×103

其中W：双金属环形碟片的密度， （ｇ/㎝3）

103：将“m” 换算成”mm”的一个系数。

将（３）和（4）代入（1）式，则可以得到双金属环形碟片的温升公式：

3
ρπ(D+d)
I2· ——————— ·t
4×103δ（D-d）
T-T0 = 0.24 ———————————
πδW(D2-d2）
———————·C
4×103

整理后得：
0.24 I2ρt
T-T0 = ——————— (℃) ……………………………………………(5)
(D-d)2δ2WC
需要注意的是，(4)、(5)两式是纯直流电路计算公式，用到交流电路中去，还应考虑功率因数的问题。故电冰箱（空调）用热保护器环形碟片体积热能的最后表达公式应为：
0.24 соѕφΙ2ρπt(D+d)
Q0 = BC(T-T0)= ——————————— (cаI) …………………(6)
4×103δ(D-d)

碟片温升最后表达公式应为：

0.24 соѕφΙ2ρt
T-T0 = ———————— （℃）………………………………………(7)
(D-d)2δ2WC
双金属环形碟片的电阻值，还可以从另外一个角度求取，见图2：
显然，导体长度L就是AB两银触点间的距离，一般即为环形碟片的外径D，而截面积S应该等于宽度乘厚度。 故宽度不能取ab ,也不能取cd ,只能取
D
其等效的宽度ι，则R = ρ·———— , 这里面“103” 是将电阻率的“m”换算
103ιδ
成“mm”的一个系数。而两种算法的电阻值应该是相等的,

ρπ(D+d) D
即——————— = ——
4×103δ(D-d) 103ιδ 4

4D（D-d）
故等效宽度 ℓ = —————— (mm) …………………………………(8)
π(D+d)

下面，通过具体示例，来说明上述公式的运用。

某一空调用热保护器，其动作温度（T3）为145±5℃、回复温度（T2）为

69±6℃ ；常温（T1）25℃时的额定动作电流为14.8 A、动作时间(t)为10±5S、

回复时间不限，尽可能长一些；弹力（热推力）P为3.4N（145℃时）; 用外径

D为15.8mm、内径d为8mm的环形双金属碟片，初拟采用FPA721系列25-70的

双金属片，其比弯曲K为20.5×10-6/℃、弹性模量E为1.38×105N/mm2、材料密

度W为7.75g/mm3，求其它相关参数。

一、先确定环形碟片的厚度δ：

1 K(D2-d2)(T3-T2)
由于f= — × ———————— (mm) ………………………………①
2 4δ

4δ3Ef
P = ———— (N) ………………………………………………………②
D2-d2

将①式代入②式得：

Kδ2E（T3-T2）
P = ———————
2

2P
δ= √ —————
KE（T3-T2）

2×3.4
=√ ——————————————
20.5×10-6×1.38×105(145-69)

=0.1778(mm) 取δ= 0.18 mm

二、求环形碟片的质量B:
5
πWδ(D2-d2) 3.14×7.75×0.18 (15.82-82)
B=—————— = ————————————— = 0.2033 (ｇ)
4000 4000

三、再确定环形碟片的理论体积热能Q 0´：

Q 0´=BC（T-T0） 在这里T = T3 T0 = T1 比热C取0.11cаI/g﹒k

故Q 0´=BC（T3-T1）=0.2033×0.11（145-25）=2.6836 （cаI）

四、按理论体积热能计算的环形碟片电阻率ρ的确立：

0.24соѕφΙ2ρπt(D+d)
由于Q 0´= ——————————
4×103δ(D-d)

4×103Q0´δ(D-d)
则ρ= —————————— （Ω·mm2/m）
0.24соѕφΙ2πt(D+d)

考虑到圆盘形热保护器大多使用在单相电源场合，且以感性和容性负载居

多，故功率因数соѕφ取0.65-0.707的中间值0.6785；而动作时间取10 ± 5 S

的下限值5S。

4×10 3×2.6836×0.18（15.8-8）
故ρ= —————————————————— =1.1308 （Ω·mm2/m）
0.24×0.6785×14.82×3.14×5（15.8+8）

查有关资料，拟采用FPA721-110牌号的双金属片，其电阻率为1.122Ω·mm2/m、

T3+T2
材料密度为7.75 g/mm3、弹性模量为1.38×105N/mm2、比弯曲取接近于 ——的
2
一个值，即取100℃时的20.6×10-6/℃。

五、按新确立的参数重复上述演算，验证各参数是否满足要求：

1. 碟片的厚度
2×3.4
δ=√——————————————— = 0.1774 （mm)
20.6×10-6×1.38×105（145-69）

取δ= 0.18 mm 6
3.14×7.75×0.18（15.82-82）
2.质量B =——————————————— =0.2033 (ｇ)
400

3.理论体积热能

Q 0´=0.2033×0.11×（145-25）=2.6836 （cаI）

4.动作时间

4×103×2.6836×0.18×（15.8-8）
t=———————————————————— =5.0392 （S）
0.24×0.6785×14.82×1.122×3.14（15.8+8）

5.按设计要求，动作时间达到15 S也是合格的，故此时的理论体积热能：

0.24×0.6785×14.82×1.122×3.14×15（15.8+8）
Q 0´= ———————————————————————
4×103×0.18（15.8-8）

= 7.9882 （cаI）

6.考虑温度损失，碟片的实际体积热能有可能大于7.9882 cаI也是正常的。

1.122×3.14（15.8+8）
7. 碟片电阻R =——————————— =0.01493 （Ω）
4×103×0.18（15.8-8）

4×15.8（15.8-8）
8.碟片的等效宽度 ℓ =————————— = 6.5964 （mm)
3.14（15.8+8）

9.从另一角度计算的碟片电阻R：

L
由于R = ρ― 在这里L =Φ、S=ℓδ
S

Φ 15.8
故R = ρ——— =1.122 ————————— = 0.01493 （Ω）
103ℓδ 103×6.5964×0.18

和顺序7计算相一致，说明这个碟片电阻计算公式的正确性。

10.从另一角度计算的碟片自身的发热量Q2： 7
Q 2= 0.24соѕφ I2Rt =0.24×0.6785×14.82×0.01493×5

= 2.6627 （cаI）

和顺序3计算基本一致，（误差在于соѕφ的选取），同样说明体积热能

计算公式的正确性。

需要注意的是，按理论体积热能计算电阻率时，通电时间取额定动作时间

的下限值是为了双金属碟片的电阻值（电阻率）能尽可能地取得大一点，使之足

以产生突变反跳的体积热能。从体积热能计算公式中可以看出，通电电流（额定

动作电流）不改变，体积热能取决于碟片电阻和通电时间的乘积。碟片电阻加大，

势必要减小通电时间；由于存在温度损失，理论体积热能显然是偏小的，故可以

通过延长时间来达到需要的体积热能。设计计算时，取动作时间的下限，动作时

间就不易超差，比较切合实际情况。

最后结论：要达到设计要求，采用FPA721-110牌号的双金属片，其比弯曲

为20.6×10-6/℃、弹性模量为1.38×105N/mm2、材料密度为7.75g/mm3；用外径为

15.8mm、内径为8mm、厚度为0.18 mm的环形碟片，可以一试。

圆盘形热保护器，双金属碟片还涉及到一个负载动作温度（回复温度）和空

载动作温度（回复温度）的问题。设计示例中给出的动作温度和回复温度，指的

是负载情况下的温度特性参数，还必须求出空载动作温度，用以指导双金属碟片

温度特性成形。由于负载回复温度就是空载回复温度，即为69℃，只要知道空

载动作温度，就可以正确进行温度特性成形。

空载时的动作温度可按下式进行计算：

T3[ K（T3-TZ）Eδ2+ G]–T2 G
空载时的动作温度T3＇= ————————————— （℃）
K（T3-TZ）Eδ2

8
其中T3：双金属碟片负载时的动作温度，（℃）
K：双金属碟片的比弯曲，（1/℃）
TZ: 双金属碟片负载时回复温度变化到动作温度时的中间温度，（℃）
E：双金属碟片的弹性模量，（N/mm2）
δ:碟片的材料厚度，（mm）
G：触点压力，（N）
T3 + T2 145+69
负载时的中间温度TZ = ———— = ——— = 107 （℃）
2 2

触点压力可按表1选取。

表1 触点压力和额定动作电流对应关系(仅供参考)
触点压力
N
1.059
1.108
1.147
1.196
1.255
1.314
1.383
1.451
1.530
1.618
1.716
1.834
g
108
113
117
122
128
134
141
148
156
165
175
187
额定电流
A
<3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25

145[ 20.6×10-6（145-107）1.38×105×0.182+1.38]-69 ×1.38
故T3´=——————————————————————————————
20.6×10-6（145-107）1.38×105×0.182

=174.965（℃） 取T3´为175℃

即温度特性成形时必须成出空载动作温度为175℃、回复温度为69℃的双金

属碟片。

对于复合加热方式的热保护器，先根据初拟双金属片的比弯曲、弹性模量和

要求的弹力（热推力）求出碟片的厚度、质量和足以使之突变反跳的理论体积热

能，而后根据初拟电阻率、额定动作电流和动作时间求出碟片的发热量，不足部

分由发热电阻丝来提供（当然应考虑温度损失），以这样的思路来考虑问题。计

算中，通电时间也应取额定动作时间的下限值。

由于热保护器的温度特性主要是由双金属碟片来实现，电流特性由发热电阻

丝来实现，故在设计热保护器电流特性时，应尽量减小由于存在碟片电阻而对整
9机电流特性的影响，故复合加热方式的热保护器双金属片应选用电阻率较小的材

料；而直接加热方式的热保护器双金属片可选用电阻率较大的材料。由于没有发

热电阻丝，温度特性和电流特性都将有双金属碟片来实现，故直接加热方式的热

保护器要实现温度特性和电流特性的统一存在一定难度。

如设计某一电冰箱用热保护器，其动作温度（T3）为125±5℃、回复温度（T2）

为61±9℃；常温（T1）25℃时的额定动作电流为5.2A、动作时间(t)为10±5S、

回复时间大于50S; 弹力 (热推力)P为2.5N; 用外径D为15.8mm、内径d为8mm

的环形双金属碟片。鉴于以上原则，选择双金属碟片的电阻率已不成为主要矛盾，

而要着重考虑影响电流特性的发热电阻丝的电阻值的求取。故可以根据总体设计

要求，拟定采用FPA721-50的双金属片，其比弯曲K为20.6×10-6/℃、弹性模量

E为1.38×105N/mm2 、电阻率ρ为0.499Ω·mm2/m 、材料密度W为7.75g/mm3 ，

求其它相关参数。

一、环形碟片厚度δ的确定：
2P
δ= √————— （mm)
KE(T3-T2)

2×2.5
δ= √ ——————————————————— = 0.1658（mm)
20.6×10-6×1.38×105(125-61)

取δ= 0.17 mm

二、求环形碟片的质量B：

πWδ（D2-d2）
B = ——————— (ｇ)
4000

3.14×7.75×0.17(15.82-82)
= ————————————— = 0.1920 (ｇ)
4000
10
三、确定环形碟片的理论体积热能Q0´：

Q 0´=BC（T-T0） 这里T= T3 T0= T1

比热C取0.11cаI/g﹒k

故Q 0´= 0.1920×0.11（125-25）= 2.1120 （ cаI）

四、环形碟片的电阻值R：

ρπ（D+d） 0.499×3.14（15.8+8）
R=————————= ————————————= 0.007031 （Ω）
4×103δ（D-d） 4×103×0.17（15.8-8）

从另一角度计算的碟片电阻值R：

L
由于R= ρ―— 在这里L =Φ、S=ℓδ
S

ρΦ 0.499×15.8
故R = ———— = ————————— = 0.007031 （Ω）
103ℓδ 103×6.5964×0.17

五、环形碟片自身的发热量Q 2：

0.24соѕφI2ρπt(D+d)
Q 2 = ——————————
4×103δ（D-d）

0.24×0.6785×5.22×0.499×3.14×5(15.8+8)
= —————————————————————— = 0.1548（ cаI）
4×103×0.17（15.8-8）

六、碟片理论体积热能与自身发热量的差值ΔQ：

ΔQ = Q 0´-Q 2 = 2.1120 -0.1548 = 1.9572（ cаI）

七、发热电阻丝应该提供的发热量Q1：

由于存在碟片向周围环境散发的热能损失、银触点接触电阻造成的热能损失

等等，故发热电阻丝实际应该提供的发热量，要在ΔQ基础上再乘上一个大于1
11
的系数α，

故Q1 =αΔQ 在这里取α为9.2（仅示例用）

Q1 = 9.2×1.9572 = 18.0062 （ cаI）

八、发热电阻丝的电阻值R的确定：

Q 1 = 0.24соѕφI2Rt

Q1 18.0062
则R = —————— = ——————————— = 0.8179 （Ω）
0.24соѕφI2t 0.24×0.6785×5.22×5

即R =817.9 mΩ

计算中α的大小，要靠企业积累实践经验，从大量统计数据中分析总结出来。

(文章发表在2008年第1期《电器附件》杂志上，这里作了一些修正和补充。)

12

√δ﹦ ————2P
KE（T3-T2）

KE（T3-T2）

—————
δ﹦ 2P/ KE（T3-T2）
KE（T3-T2）

—————
2P
——————
√ KE（T3-T2）

‾‾‾‾‾
K