《2.5-离散型随机变量的均值与方差》-导学案-1.doc

2.5 离散型随机变量的均值与方差 导学案 1学习目标1.理解离散型随机变量的均值(或期望)与方差的意义.2.会求离散型随机变量的均值、方差，并能对结果作出判断与选择.重点离散型随机变量的均值(或期望)及方差、标准差的概念.难点根据离散型随机变量的分布列求出均值(或期望)，并能解决实际问题.教学过程在一次选拔赛中，甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下:射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，0.6，0.2；射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4，0.2，0.4.如果你是教练，如何比较两名射手的射击水平，选拔谁呢？通过本节课的学习，我们就会得到答案.问题1:离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为:Xx1x2xixnPp1p2pipn则称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.称DX=(xi-EX)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.问题2:利用方差判断随机变量的离散程度的标准方差越大，波动性越大，即离散程度越大；方差越小，波动性越小，即离散程度越小.问题3: 两点分布:设变量X只取0，1两个值，并且P(X=0)=1-p， P(X=1)=p，则EX=p，DX=p(1-p).问题4:(1)若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即XB(n，p)，则EX=np，DX=np(1-p).(2)若随机变量 X服从参数为N，M，n的超几何分布，则EX=n.随机变量的均值、方差是常数，而样本的平均值、方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的平均值、方差是随机变量；对于简单样本，随着样本容量的增加，样本的平均值、方差越来越接近于总体的平均值、方差，因此，我们常用样本的平均值、方差来估计总体的平均值、方差.学习交流1.样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均值为1，则样本方差为().A.B.C.D.2【解析】由题意知a+0+1+2+3=51，解得a=-1.所以样本方差为=2，故选D.【答案】D2.已知某一随机变量X的分布列如下，且EX=6.3，则a的值为().X4a9P0.50.1bA.5B.6C.7D.8【解析】由分布列性质知:0.5+0.1+b=1，b=0.4.EX=40.5+a0.1+90.4=6.3，a=7，故选C.【答案】C3.已知随机变量X的概率分布如下表:X-101P则X的方差为.【解析】直接由期望公式得E(X)=，然后利用方差公式可得DX=(-1-)2+(0-)2+(1-)2=.【答案】4.签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，求X的数学期望.【解析】由题意可知X可以取3，4，5，6，则P(X=3)=，P(X=4)=，P(X=5)=，P(X=6)=.由数学期望的定义可求得EX=5.25.5. 离散型随机变量的均值根据历次比赛或者训练记录，甲、乙两名射手在同样的条件下进行射击，成绩分布如下:射手8环9环10环甲0.30.10.6乙0.20.50.3试比较甲、乙两名射手射击水平的高低.【方法指导】分别根据公式计算甲、乙击中环数的均值，再进行比较. 【解析】设甲、乙两名射手射击一次所得的环数分别为X、Y，则EX=80.3+90.1+100.6=9.3；EY=80.2+90.5+100.3=9.1.由于EXEY，这就是说甲射击所得的环数的数学期望比射手乙稍高一些，所以甲的射击水平高一些.【小结】离散型随机变量均值的实际意义是其取值的平均程度，在实际问题中这个平均程度能给我们的决策等提供一定的帮助，能对一些问题作出判断.6. 离散型随机变量的方差若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0p1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数.(1)求方差DX的最大值； (2)求的最大值.【方法指导】显然随机事件A服从两点分布，易得EX和DX.从而利用二次函数或基本不等式求出最值.【解析】随机变量X的所有可能取值为0，1，并且有P(X=1)=p，P(X=0)=1-p.从而EX=0(1-p)+1p=p，DX=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2.(1)DX=p-p2=-(p2-p+)+=-(p-)2+，0p1，当p=时，DX取得最大值，最大值为.(2) =2-(2p+)，0p1，2p+2.当2p=，即p=时取等号.因此，当p=时，取得最大值2-2.【小结】本题考查了随机变量的分布列、期望、方差等与其他知识的联系，要求对两点分布的分布列、期望、方差公式运用熟练.7. 离散型随机变量的均值与方差A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示:A机床次品数X10123概率P0.70.20.060.04B机床次品数X20123概率P0.80.060.040.10问哪一台机床加工质量较好？【方法指导】均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值在均值周围如何变化，方差大，说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中.【解析】EX1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44，EX2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44，EX1=EX2.又DX1=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)20.06+(3-0.44)20.04=0.6064，DX2=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)20.04+(3-0.44)20.10=0.9264，DX1 DX2，故A机床加工较稳定、质量较好.【小结】 EX是一个常数，由随机变量X的概率分布唯一确定，即随机变量X是可变的，而EX是不变的，它描述X取值的平均状态.随机变量的方差和标准差既反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，也反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.例题应用例一 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；【解析】(1)由于1件产品的利润为X，则X的所有可能取值为6，2，1，-2，由题意知P(X=6)=0.63，P(X=2)=0.25，P(X=1)=0.1，P(X=-2)=0.02.故X的分布列为:X621-2P0.630.250.10.02(2)1件产品的平均利润为EX=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34(万元).例二 某篮球运动员投篮命中的概率p=0.6.(1)求一次投篮时投中次数X的期望和方差；(2)求重复5次投篮时投中次数Y的期望与方差.【解析】(1)X的分布列为:X01P0.40.6则EX=00. 4+10.6=0.6，DX=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.(2)Y服从二项分布，即YB(5，0.6)，EY=np=50.6=3，DY=50.60.4=1.2.例三 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下:射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，0.6，0.2；射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4，0.2，0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平.【解析】由题意得EX甲=80.2+90.6+100.2=9，DX甲=(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4；同理有EX乙=9，DX乙=0.8.由上可知EX甲=EX乙，DX甲DX乙.所以，可以看出甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环的次数多些.课堂练习1.已知XB(n，p)，EX=8，DX=1.6，则n，p的值分别是 ().A.100和0.08B.20和0.4C.10和0.2D.10和0.8 【解析】由EX=np=8，DX=np(1-p) =1.6，得n=10，p=0.8.【答案】D2.同时抛两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X，则DX等于().A.B.C.D.5【解析】XB(10，)，DX=np(1-p)=10=.【答案】C3.已知离散型随机变量X的分布列如下表，若EX=0，DX=1，则a=，b=.X-1012Pabc【解析】由题意知解得【答案】4.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的均值和标准差.【解析】成绩的均值为EY=E(2X)=2EX=2500.8=80(分)；成绩的标准差为=2=4 (分).5.(2014年四川卷)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解析】(1)X可能的取值为10，20，100，-200.根据题意有:P(X=10)=()1(1-)2=，P(X=20)=()2(1-)1=，P(X=100)=()3(1-)0=，P(X=-200)=()0(1-)3=，所以X的分布列为:X1020100-200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1，2，3)，则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-()3=1-=.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的数学期望为EX=10+20+100-200=-.这表明，获得分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.课后练习1.已知离散型随机变量的分布列为:X-101P则EX等于().A.0B.-1C.-D.-【答案】C2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为X，则下列结论正确的是().A.EX=0.1B.DX=0.1C.P(X=k)=0.01k0.9910-kD.P(X=k)=0.99k0.0110-k【解析】EX=100.01=0.1.【答案】A3.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X，则EX=，DX=.【解析】XB(200，0.01)，所以期望EX=2000.01=2，DX=2000.01(1-0.01)=1.98.【答案】21.984.一高考考生咨询中心有A、B、C三条咨询热线.已知某一时刻热线A、B占线的概率均为0.5，热线C占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有X条热线占线，求随机变量X的期望.【解析】随机变量X可能取的值为0、1、2、3.依题意得P(X=0)=0.15， P(X=1)=0.4，P(X=2)=0.35，P(X=3)=0.1.X的分布列为:X0123P0.150.40.350.1EX=00.15+10.4+20.35+30.1=1.4.5.随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=2，3，4)，则DX等于().A.B.C.1D.2【解析】EX=2+3+4=3，DX=(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2=.【答案】B6.期中考试，甲数学及格的概率为，乙数学及格的概率为，则两人及格人数X的数学期望为().A.B.C.D.【解析】P(X=0)=(1-)(1-)=，P(X=1)=(1-)+(1-)=，P(X=2)=，EX=.【答案】C7.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.假设X表示同一工作日需使用设备的人数，则随机变量X的数学期望为.【解析】依题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X=0)=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06，P(X=1)=0.60.52(1-0.4) +(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25，P(X=4)=0.520.60.4=0.06，P(X=3)=0.60.520.6+20.60.520.4+0.40.520.4=0.25，P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=0.38.EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.【答案】28.若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为X，求EX.【解析】记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0，1，2.P(X=0)=P()=P()P()=(1-)(1-)=，P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=(1-)+(1-)=，P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=.所以X的分布列如下表:X012P故EX=0+1+2=.9.随机变量X的分布列如下:X-101Pabc其中a，b，c成等差数列，若EX=，则DX的值是.【解析】由题意知a，b，c成等差数列2b=a+c，又a+b+c=1，EX=-1a+1c=c-a=.联立三式得a=，b=，c=，DX=(-1-)2+()2+()2=.【答案】10.一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件做检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件做检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件做检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元)，求X的分布列及数学期望.【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B；第一次取出的4件产品中全为优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D.这批产品通过检验为事件E， P(E)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=()3()4+()4=.(2) X的可能取值为400，500，800，并且 P(X=400)=1-()3-()4=，P(X=500)=，P(X=800)=()3=， X的分布列为:X400500800PEX=400+500+800=506.25(元).