2013年丰台区高三一模数学理科试卷及答案.doc

丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）
数学（理科）
一、选择题
1.复数z=在复平面内对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

结束
否
是

开始
输出k

2. 设为等比数列的前项和，，则
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
3. 执行右边的程序框图，输出k的值是
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
4．已知变量满足约束条件，则的最大值是
(A) (B) (C) 1 (D)
5.已知命题p:；
命题q:,则下列命题为真命题的是
(A) (B)
(C) (D)
6. 已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是
(A) 13 (B) 18 (C) 21 (D) 26
7. 如果函数y=f(x)图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程 ，那么正确的选项是新课 标第 一 网
(A) y=f(x)是区间（0，）上的减函数，且x+y
(B) y=f(x)是区间（1，）上的增函数，且x+y
(C) y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y
(D) y=f(x)是区间（1，）上的减函数，且x+y
8．动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积
(A) 有最大值8 (B) 有最小值2
(C) 有最小值3 (D) 有最小值4
二 填空题
9.在平面直角坐标系中，已知直线C:（是参数）被圆C:截得的弦长为 ；
10. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。
O
P
D
F
E

11．如图，已知直线PD切⊙O于点D，直线PO交⊙O于点E,F.若，则⊙O的半径为 ； .

12.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E是CD的中点， 则 .
13.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.
14. 已知M是集合的非空子集，且当时，有.记满足条件的集合M的个数为，则 ； 。
三、解答题
15. 已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在上的值域.
16．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN;
（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值.
17．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。
（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；X k B 1 . c o m
（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值。
18.已知函数，.
(Ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；
(Ⅱ)当，且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值。
19． 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2，)，直线：y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A，B。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0,3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由。
20． 设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：
① ；
② .
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2k+1()阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为，
试证：（1）； （2）
丰台区2013年高三年级第二学期统一练习（一）
数学（理科）参考答案

一、选择题X|k |B| 1 . c|O |m
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
A
B
B
C
C
D
二 填空题
9. ； 10. 30； 11． ，15° （第一个空2分，第二个空3分）； 12. -1；
13. ； 14. 3，(第一个空2分，第二个空3分)。
三、解答题
15. （本题13分）已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在上的值域.
解：（Ⅰ），………………………………………3分
最小正周期T=, …………………………………………………………………………………4分
单调增区间, …………………………………………………………7分
（Ⅱ），
， ………………………………………………………………………………10分
在上的值域是. ………………………………………………………13分

16．（本题14分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且，MD=2；
（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN; 新|课 |标| 第 | 一| 网
（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值.
解：（Ⅰ）∵ABCD是正方形,
∴BC∥AD.
∵BCË平面AMD,AD平面AMD,
∴BC∥平面AMD.
∵NB∥MD,
∵NBË平面AMD,MD平面AMD,
∴NB∥平面AMD. 新-课 -标 -第-一-网
∵NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,
∴平面AMD∥平面BCN…………………………………………………………………………………3分
∵AM平面AMD,
∴AM∥平面BCN…………………………………………………………………………………………4分
(也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分)
（Ⅱ）平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可选点D为原点，DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）…………………………………………………………………5分
则，，,.
, ………………………………………6分
，,
设平面MNC的法向量,
则，令，则 … 7分
设AN与平面MNC所成角为,
. ……9分
（Ⅲ）设，，，
又，
E点的坐标为， …………………………………………………………………11分
面MDC,，
欲使平面ADE⊥平面MNC，只要，
，，
. ………………………………………………………………………………14分

17．（本题13分）在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会。抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元。新 课 标 第 一 网
（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值。
解：（Ⅰ）设“甲和乙都不获奖”为事件A , ……………………………………………………1分
则P（A）=，
答：甲和乙都不获奖的概率为. …………………………………………………………………5分
（Ⅱ）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…………………………………………………6分
P(X=0)=, P(X=400)= , P(X=600)= ,
P(X=1000)= , ……………………………………………………………………10分
∴X的分布列为
X
0
400
600
1000
P

…………………………………11分
∴E(X)=0×+400×+600×+1000×=500(元).
答: 甲获奖的金额的均值为500(元). ……………………………………………………………13分

18. （本题13分）已知函数，.
(Ⅰ)若曲线在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b的值；
(Ⅱ)当，且ab=8时，求函数的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值.
解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，……………………………………………………………1分

则， …………………………………………………3分
h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，
即,解得或……………………6分
(Ⅱ)记(x)= ，则(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a), w W w .x K b 1.c o M
ab=8，所以，(x≠-a),
,
令，得，或, …………………………………………………8分
因为，所以，
故当，或时，，当时，，
函数(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为, ……………………………………………………………………10分
,,，
① 当，即时, (x)在[-2,-1]单调递增,
(x)在该区间的最小值为， ………………………………………11分
② 当时,即,
(x)在[-2,单调递减, 在单调递增，
(x)在该区间的最小值为，………………………………………………12分
③当时,即时,
(x)在[-2,-1]单调递减, (x)在该区间的最小值为，………13分
综上所述，当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. （不综述者不扣分）
19．（本题13分）已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过点P(2，)，直线：y=kx+m(k≠0)交椭圆C于不同的两点A、B。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在k的值，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0,3），若存在求出 k的取值范围，若不存在，请说明理由。
解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意
，解得，，所以椭圆C的方程为. ……………………5分
（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0,3），
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点为N(x0,y0),
由得, ……………………………………………6分
，所以,……………7分
,
，, …………………………………………8分
线段AB的垂直平分线过点Q（0,3），
，即，， ………………………………………10分
，
整理得，显然矛盾不存在满足题意的k的值。……………………………13分

20．（本题14分）设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：
① ；
② .
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2k+1()阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为，新课 标第 一 网
试证：（1）； （2）
解：（Ⅰ）数列为三阶期待数列…………………………………………………………1分
数列为四阶期待数列,……………………………………..…..3分(其它答案酌情给分)
（Ⅱ）设等差数列的公差为，
，
所以，
即， ………………………………………………………………………4分
当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾， ……………………………………………………………5分
当d>0时,据期待数列的条件①②得：

由得，
…………………………7分
当d<0时，
同理可得
由得，
………………………8分
（Ⅲ）（1）当k=n时，显然成立；…………………………………………………9分
当k<n时，据条件①得
，
即，

,
……………………………………………………………………11分

xK b1 . C om

………………………………14分
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