概率论及数理统计复旦版课后答案.doc

习题四
1.设随机变量X的分布律为

X
-1 0 1 2
P
1/8 1/2 1/8 1/4
求E（X），E（X2），E（2X+3）.
【解】(1)
(2)
(3)
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为
X
0
1
2
3
4
5
P

故

3.设随机变量X的分布律为
X
-1 0 1
P
p1 p2 p3
且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.
【解】因……①,
又……②,
……③
由①②③联立解得
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则

5.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求E（X），D（X）.
【解】

故
6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1；
（2） V=YZ -4X.
【解】(1)

(2)

7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.
【解】(1)
(2)
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试确定常数k，并求E（XY）.
【解】因故k=2
.
9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
fX（x）= fY（y）=
求E（XY）.
【解】方法一：先求X与Y的均值

由X与Y的独立性，得

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为

于是

10.设随机变量X，Y的概率密度分别为
fX（x）= fY（y）=
求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y2）.
【解】

从而(1)
(2)
11.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）.
【解】(1) 由得.
(2)

(3)
故
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

于是，得到X的概率分布表如下：
X
0
1
2
3
P
0.750
0.204
0.041
0.005
由此可得

13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
f（x）=
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和 -200元

故 (元).
14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，记
，S2=.
（1） 验证=μ， =；
（2） 验证S2=；
（3） 验证E（S2）=σ2.
【证】(1)

(2) 因

故.
(3) 因,故
同理因,故.
从而

15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,
计算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.
【解】

(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).
16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】设.

同理E(Y)=0.
而
,
由此得,故X与Y不相关.
下面讨论独立性，当|x|≤1时，
当|y|≤1时，.
显然
故X和Y不是相互独立的.
17.设随机变量（X，Y）的分布律为
X
Y

-1 0 1

-1
0
1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表

38

X
-1
0
1
P

Y
-1
0
1
P

XY
-1
0
1
P

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.
从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,
即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.
又
从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.
【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为

题18图

从而
同理
而
所以
.
从而
19.设（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.
【解】

从而

同理
又
故

20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关系数.
【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.
从而

故
21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：
［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.
这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz）不等式.
【证】令
显然

可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0，
即

故
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.
【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)==5.
依题意Y=min(X,2).
对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0.
对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.
对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为
P{X≤x}=1 -e -λx,所以
F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1 -e -y/5.
23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为
,
Z=k
0
1
2
3
Pk

因此，
(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有

24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系
T=
问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
【解】

故

得 
两边取对数有

解得 (毫米)
由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.
25.设随机变量X的概率密度为
f(x)=
对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望.
（2002研考）
【解】令
则.因为
及,
所以
,
从而
26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）.
【解】由题意知：

因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).
当t<0时，fT(t)=0;
当t≥0时，利用卷积公式得

故得

由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)
因此，有E(T)=E(T1+T2)=.
又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=.
27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y|的方差.
【解】设Z=X -Y，由于
且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）.
因

而

，
所以 .
28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）.
【解】记q=1 -p,X的概率分布为P{X=i}=qi -1p,i=1,2,…，
故
又

所以

题29图
29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差.
【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
=D(X)+D(Y)+2[E(XY) -E(X)·E(Y)].
由条件知X和Y的联合密度为

从而
因此

同理可得

于是
30.设随机变量U在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量
X= Y=
试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）.
【解】（1） 为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.
P{x= -1,Y= -1}=P{U≤ -1,U≤1}

P{X= -1,Y=1}=P{U≤ -1,U>1}=P{}=0,
P{X=1,Y= -1}=P{U> -1,U≤1}

.
故得X与Y的联合概率分布为
.
(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为
, .
从而

所以
31.设随机变量X的概率密度为f(x)=，（ -∞<x<+∞）
(1) 求E（X）及D（X）；
（2） 求Cov(X,|X|),并问X与|X|是否不相关？
（3） 问X与|X|是否相互独立，为什么？
【解】(1)

(2)

所以X与|X|互不相关.
(3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 -∞<x<+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x0，则有

所以
故由

得出X与|X|不相互独立.
32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数ρXY= -1/2，设Z=.
（1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；
（2） 求X与Z的相关系数ρXZ；
（3） 问X与Z是否相互独立，为什么？
【解】(1)

而

所以
(2) 因

所以
(3) 由，得X与Z不相关.又因，所以X与Z也相互独立.
33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数.
【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.
再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=,
从而有
所以
故= -1.
34.设随机变量X和Y的联合概率分布为
Y
X

-1 0 1

0
1
0.07 0.18 0.15
0.08 0.32 0.20
试求X和Y的相关系数ρ.
【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为

YX
-1
0
1
P
0.08
0.72
0.2
所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)·E(Y)=0.12 -0.6×0.2=0
从而 =0
35.对于任意两事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<1,则称
ρ=为事件A和B的相关系数.试证：
（1） 事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0；
（2） |ρ|≤1.
【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB) -P(A)·P(B)=0.
而这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件.
(2) 引入随机变量X与Y为

由条件知，X和Y都服从0 -1分布，即

从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),
D(X)=P(A)·P(),D(Y)=P(B)·P(),
Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)·P(B)
所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1.
36. 设随机变量X的概率密度为
fX(x)=
令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：
(1) Y的概率密度fY(y)；
(2) Cov(X,Y);
(3).
解： (1) Y的分布函数为
.
当y≤0时， ，；
当0＜y＜1时，
，
；
当1≤y<4时，
；
当y≥4时，，.
故Y的概率密度为

(2) ,
,
,
故 Cov(X,Y) =.
(3)

.
习题五
1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10<X<18}.
【解】设表每次掷的点数，则

从而
又X1,X2,X3,X4独立同分布.

从而

所以
2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？
【解】令
而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且
X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.
现要求n,使得

即

由中心极限定理得

整理得查表
n≥268.96, 故取n=269.
3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.
【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）,

查表知 ,m=151.
所以供电能151×15=2265（单位）.
4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=，求P{V＞105}的近似值.
【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,…,20
由中心极限定理知，随机变量

于是

即有 P{V>105}≈0.348
5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？
【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）
从而

6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.
（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？
（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？
【解】
令
(1) X~B(100,0.8)，

(2) X~B(100,0.7)，

7. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.
【解】令1000件中废品数X，则
p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)，
E(X)=50，D(X)=47.5.
故

8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.
【解】

故

9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.
【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，
E(T)=10n，D(T)=100n.
从而即
故

所以需272a元.
10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.
（1） 求参加会议的家长数X超过450的概率？
（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.
【解】（1） 以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为
Xi
0
1
2
P
0.05
0.8
0.15
易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.
而,由中心极限定理得

于是

(2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得

11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？
【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求
P{X≤5000}. 由中心极限定理有

12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：
（1）至少有多少个人能够进入？
（2）至多有多少人能够进入？
【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,…,1000）.
令 Sn=X1+X2+…+X1000.
(1) 设至少有m人能够进入掩蔽体，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件

由中心极限定理知：

从而
故
所以 m=900-15.65=884.35≈884人
(2) 设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.

查表知=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人.
13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：
（1） 保险公司没有利润的概率为多大；
（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？
【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.

(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.
于是所求概率为

(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为

14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计. （2001研考）
【解】令Z=X-Y，有

所以

15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.
（1） 写出X的概率分布；
（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.
（1988研考）
【解】（1） X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，X~B(100,0.2)，故X的概率分布是

(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得

16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.

【解】设Xi（i=1,2,…,n）是装运i箱的重量（单位：千克），n为所求的箱数，由条件知，可把X1，X2，…，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：

依中心极限定理，当n较大时，,故箱数n取决于条件

因此可从解出n<98.0199,
即最多可装98箱.
习题六
1.设总体X~N（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.
【解】μ=60,σ2=152,n=100

即

2.从正态总体N（4.2，52）中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大？
【解】

则Φ(0.4)=0.975，故0.4>1.96,
即n>24.01，所以n至少应取25
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N（1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求P（＞1062）.
【解】μ=1000,n=9，S2=1002

4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.
【解】，由P(|-μ|>4)=0.02得

P|Z|>4(σ/n)=0.02,
故,即
查表得
所以
5.设总体X~N（μ，16），X1，X2，…，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差，且P（S2＞a）=0.1，求a之值.
【解】
查表得
所以
6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量
Y=，n＞5
服从何种分布？
【解】
且与相互独立.
所以

7.求总体X~N（20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.
【解】令的容量为10的样本均值，为容量为15的样本均值,则~N(20,310), ~N(20,)，且与相互独立.
则
那么
所以

8.设总体X~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y= 服从 分布,参数为 .
【解】i=1,2,…,15.
那么
且与相互独立,
所以

所以Y~F分布，参数为（10,5）.
9.设总体X~N（μ1,σ2）,总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,和Y1，Y2，…，分别来自总体X和Y的简单随机样本，则
= .
【解】令
则
又
那么

10.设总体X~N（μ,σ2），X1，X2，…，X2n（n≥2）是总体X的一个样本，，令Y=，求EY.
【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则
Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互独立.
令
则
故
那么

所以

11. 设总体X的概率密度为f(x)= (-∞<x<+∞),X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，求E(S2).
解： 由题意，得

于是
所以
.
习题七
1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.
【解】因此np=
所以p的矩估计量
2.设总体X的密度函数
f（x,θ）=
X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计.
【解】
令E(X)=A1=,因此=
所以θ的矩估计量为
3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计.
（1） f（x，θ）=
（2） f（x，θ）=
【解】（1） 似然函数

由知

所以θ的极大似然估计量为.
(2) 似然函数,i=1,2,…,n.

由知

所以θ的极大似然估计量为
4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
收益率
0.01
-0.11
-0.12
-0.09
-0.13
-0.3
0.1
-0.09
-0.1
-0.11
求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.
【解】

由知,即有

于是
所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.
5.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.
【解】(1) ,令，则
且,
所以θ的矩估计值为且是一个无偏估计.
(2) 似然函数,i=1,2,…,8.
显然L=L(θ)↓(θ>0)，那么时，L=L(θ)最大,
所以θ的极大似然估计值=0.9.
因为E()=E()≠θ,所以=不是θ的无偏计.
6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E（X）=μ，D（X）=σ2， =k,问k为何值时为σ2的无偏估计.
【解】令 i=1,2,…,n-1,
则
于是
那么当,即时,
有
7.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本

试证都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.
【证明】（1）
,

所以均是μ的无偏估计量.
(2)

8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：
14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2
试求μ的置信概率为0.95的置信区间.
【解】n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,
,
μ的置信度为0.95的置信区间为
.
9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L？
【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为,
于是置信区间长度为,
那么由≤L,得n≥
10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：
64 69 49 92 55 97 41 84 88 99
84 66 100 98 72 74 87 84 48 81
（1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间.
（2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间.
【解】

(1) μ的置信度为0.95的置信区间

(2)的置信度为0.95的置信区间

11.设总体X~f(x)=
X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.
【解】(1)

又

故

所以θ的矩估计量
(2) 似然函数
.
取对数

所以θ的极大似然估计量为
12.设总体X~f(x)=
X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本
（1） 求θ的矩估计量；
（2） 求.
【解】(1)
令
所以θ的矩估计量
(2)，
又

于是
,
所以

13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为
f(x,θ)=
其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计值.
【解】似然函数

由
那么当
所以θ的极大似然估计量
14. 设总体X的概率分布为
X
0 1 2 3
P
θ2 2θ(1-θ) θ2 1-2θ
其中θ(0<θ<)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值.
【解】

所以θ的矩估计值
（2） 似然函数

解
得 .
由于
所以θ的极大似然估计值为 .
15.设总体X的分布函数为
F（x,β）=
其中未知参数β>1,α>0，设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本
（1） 当α=1时，求β的矩估计量；
（2） 当α=1时，求β的极大似