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第四节 函数y=Asin的图象
强化训练
1.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图象的函数解析式是( )
A.y=2cos B.y=2sin
C.y=1+sin D.y=cos2x
答案:A
解析:将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin即y=sincos2x的图象,再向上平移1个单位长度,所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos故选A.
2.已知函数f(x)=sinR的最小正周期为,将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:由已知,周期为则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数,sincos2x,故选D.
3.(2011山东高考,文6)若函数f(x)=sin在区间上单调递增,在区间上单调递减,则等于( )
A. B.
C.2 D.3
答案:B
解析:由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=sin故选B.
4.要得到函数y=sinx的图象,只需将函数y=cos(x-的图象 .
答案:向右平移个单位长度
解析:y=sinx=coscos
=cos.
∴y=cos的图象向右平移个单位长度得到y=sinx的图象.
5.已知函数y=AsinA>0在一个周期内的图象如图所示,求其解析式.
解:由图象知A=2,
.
∴y=2sin.
又图象过点
所以2=2sinsin
.
故所求解析式为y=2sin.
见课后作业A
题组一 函数y=Asin图象的作法和变换
1.函数y=cosR)的图象向左平移个单位长度后,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A.g(x)=-sinx B.g(x)=sinx
C.g(x)=-cosx D.g(x)=cosx
答案:A
解析:y=cossinx.
2.设函数f(x)=cos将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则的最小值等于( )
A. B.3
C.6 D.9
答案:C
解析:将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明了是此函数周期的整数倍.由题知Z),解得.令k=1,即得.
3.已知函数f(x)=sinR的最小正周期为,为了得到函数g(x)=cos的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案:A
解析:由题知
所以f(x)=sin
=cos
=coscos故选择A.
4.把函数y=sinR)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( )
A.y=sinR
B.y=sinR
C.y=sinR
D.y=sinR
答案:C
5.函数y=sin在区间]上的简图是( )
答案:A
6.已知函数y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度,这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同,则已知函数y=f(x)的解析式为 .
答案:cos2x
解析:y=2sinx右移个单位长度y=2sin横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变y=2sin纵坐标缩小到原来的倍横坐标不变y=sincos2x.
7.已知函数sinR.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用五点法作出它的简图;
(3)该函数的图象可由y=sinR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
解:(1)函数sin的振幅为周期为,初相为.
(2)列表:
画简图如下图所示:
(3)方法一:函数y=sinx的图象向左平移个单位长度函数y=sin的图象各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)函数y=sin(2x+的图象
各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)函数y=sin(2x+的图象.
方法二:函数y=sinx的图象各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度函数y=sin的图象各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)函数y=sin(2x+的图象.
题组二 求函数y=Asin的解析式
8.已知简谐运动f(x)=2sin||的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为( )
A. B.
C.T=6 D.T=6
答案:A
解析:又∵f(0)=2sin∴sin.
∵||∴.
9.函数f(x)=Asin其中||的图象如图所示,则f(0)等于( )
A.1 B. C. D.
答案:D
解析:由图可知A=1,
∴f(x)=sin
sin.
∵A>0,||∴.
∴f(0)=sinsin.
10.已知函数y=sin,-)的图象如图所示,则 .
答案:
解析:由图可知,T=2(2
∴把(2,1)代入y=sin有
1=sin∴.
11.已知函数f(x)=2sin的图象如图所示,则 .
答案:0
解析:由图象知最小正周期故.又时,f(x)=0,
即2sin可得
所以sin.
12.已知函数f(x)=Asin||的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)如何由函数y=2sinx的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象,写出变换过程.
解:(1)由图象知A=2,
f(x)的最小正周期,
故.
将点代入f(x)的解析式得sin又||
∴.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.
(2)变换过程如下:
y=2sinx图象向左平移个单位长度y=2sin(x+所有点的横坐标缩短为原来的倍纵坐标不变y=2sin;
另解:y=2sinx所有点的横坐标缩短为原来的倍纵坐标不变y=2sin2x图象向左平移个单位长度y=2sin.
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