在复杂情境中建立二元一次方程组.doc

湖北省黄石市第十中学：王枫
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在复杂情境中建立二元一次方程组

数学来源于生活,服务于生活。有些问题的情境并不相同，而透过情境的数学本质是相同的。这就需要同学们，运用所学知识,在复杂情境中建立恰当的二元一次方程组解决实际问题。下面介绍几种建立数学模型的方法。
一、列表法：多个未知量时，采用列表法帮助揭示各数量之间的相等关系
例1.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配置营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
思路分析：利用列表法显现其数量关系，设每餐需甲、乙两种原料各x、y克，则有下表：

甲原料x克
乙原料y克
所配制的营养品
其中所含蛋白质
0.5x单位
0.7y单位
（0.5x+0.7y）单位
其中所含铁质
x单位
0.4y单位
（x+0.4y）单位
解：每餐需甲、乙两种原料各x、y克，根据题意有
，化简得.解方程组得
答：每餐需甲原料28克，乙原料30克.

【总结方法】列方程（组）借应用题的关键是弄清问题中的数量关系，找准等量关系.为了解决这个难点，一般情况下，列二元一次方程组可以采用列表法来凸现这两种关系.其具体方法是：①确定应用问题的类型，找出其相关量；②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，建立与本例中类似的“关系网”；③根据表格，横向或纵向寻找相等关系，建立方程（组）.

二、辅助未知数的方法：多设未知数，巧妙消元
例2. 画展9点开门，但早几有人排队等候入场了。从第一个观众来到起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分？
       解：  设观众到场的速度为 u ，观众进场的速度为 v ，9点前观众数为 N ，第一个观众排队的提前到达的时间为 t ，则有：
               3v· 9=9u+N
5v· 5=5u+N
∴ u = 0.5v      N  = 22.5v
          ∴t = N÷ u = 22.5v÷0.5v = 45

∴第一个观众是提前45分钟到场的，即8点15分。

【总结方法】本题中含有多个量，在分析时无法理出两个相等关系，所以考虑可以多设几个未知数，使分析变得简便，再设法消元.从本题我们也可以看出，解题的关键是找到等量关系，将具体的生活中的事情用数学中的二元一次方程组的形式表达出现。然后通过数学方法很快找到解决问题的途径。

三、从整体的角度进行考虑：将已知条件或要求的内容作为一个整体。

例3.有大小两种货车，2辆大车和3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车和六辆小车一次可以运货35吨，求11辆大车与12辆小车一次可以运货多少吨？
解：设一辆大车一次可以运货x吨，一辆小车一次可以运货y吨。
2x+3y=15.5 ①
5x+6y=35 ②
②×3－①×2：11x+12y=74
∴11辆大车与12辆小车一次可以运货74吨。

【总结方法】本题还有一种常规的解法，就是先求出大车与小车一次的运货量。然后再计算出11辆大车与12辆小车的运货量,但从这种解法中我们会发现：用整体的思想看，此题只要求出11x+12y就可以了。所以我们没有去解方程。还有些应用题，不仅要设直接未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数，本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知数。

四、图示法
（2008年山东省济南市）如图，教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花,每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同，请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格.

答案：设康乃馨每支x元，水仙花每支y元.根据题意，可列方程组
解得
所以第三束花的价格是x+3y=5+3×4=17（元）.
答：第三束花的价格是x+3y=5+3×4=17元.
【总结方法】本题以教师节为背景，取材特别新颖，给学生一种耳目一新的感觉.通过实物中的标价，将这道实物信息问题，抽象出数学问题，建立方程组模型来解答.需要同学们的阅读能力、识图能力和处理信息能力有一定的提高.