理数导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法.doc

极值点偏移问题的不等式解法
我们熟知平均值不等式：

即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”
等号成立的条件是.
我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：

那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式
，
以下简单给出证明：
不妨设，设，则原不等式变为：

以下只要证明上述函数不等式即可.
以下我们来看看对数不等式的作用.
题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是
A. B. C. D.有极小值点，且
【答案】C
【解析】函数导函数：

有极值点，而极值，，A正确.
有两个零点：，，即：
①
②
①-②得：
根据对数平均值不等式：

，而， B正确，C错误
而①+②得：，即D成立.
题目2：（2011辽宁理）已知函数.
若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：
设，，，则，
①
②
①-②得：，化简得：
③
而根据对数平均值不等式：

③等式代换到上述不等式
④
根据：（由③得出）∴④式变为：

∵，∴，∴在函数单减区间中，即：

题目3：(2010天津理)已知函数 .如果，且.
证明：.
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：
设，则，，两边取对数
①
②
①-②得：

根据对数平均值不等式

题目4：（2014江苏南通市二模）设函数 ，其图象与轴交于两点，且.
证明：（为函数的导函数）.
【解析】根据题意：，移项取对数得：
①
②
①-②得：，即：

根据对数平均值不等式：

，①+②得：

根据均值不等式：

∵函数在单调递减
∴
题目5：已知函数与直线交于两点.
求证：
【解析】由，，可得：
①，②
①-②得：
③
①+②得：
④
根据对数平均值不等式

利用③④式可得：

由题于与交于不同两点，易得出则
∴上式简化为:
∴