多种函数交叉综合问题.doc

中考数学专题5 多种函数交叉综合问题

【例1】将直线沿轴向下平移后，得到的直线与轴交于点，与双曲线交于点．
⑴求直线的解析式；
⑵若点的纵标为，求的值（用含有的式子表示）．

【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点．
（1）求出这两个函数的解析式；
（2）结合函数的图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时，

【例3】已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．

【例4】已知：与两个函数图象交点为，且，是关于的一元二次方程的两个不等实根，其中为非负整数．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）如果与函数和交于两点（点在点的左侧），线段，求的值．
【例5】已知：如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为．
（1）求与的值；
（2）设一次函数的图像与轴交于点，连接，求的度数．

第二部分 发散思考
【思考1】如图，A、B两点在函数的图象上.
（1）求的值及直线AB的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

【思路分析】由于已经给出了点，第一问没有难度。第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上，哪些格点在其中。保险起见直接用1-6的整数挨个去试，由于数量较少，所以可以很明显看出。

【思考2】x
y
A
B
O

D
C

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，直线分别交轴、轴于两点．
（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的值．

【思路分析】第一问一样是用代点以及列二元一次方程组去求解析式。第二问看到比例关系，考生需要第一时间想到是否可以用相似三角形去分析。但是图中并未直接给出可能的三角形，所以需要从A引一条垂线来构成一对相似三角形，从而求解。

【思考3】已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．
（I）用含k的式子表示方程的两实数根；
（II）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y =的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式．
【思路分析】本题是一道多种函数交叉的典型例题，一方面要解方程，另一方面还要求函数解析式。第一问求根，直接求根公式去做。第二问通过代点可以建立一个比较繁琐的二元一次方程组，认真计算就可以。

【思考4】如图，反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B，OA、0C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA：0C=2：1．
（1）设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；
（2）若直线平分矩形OABC面积，求的值

【思路分析】本题看似麻烦，夹杂了一次函数与反比例函数以及图形问题。但是实际上画出图，通过比例可以很轻易发现B点的横纵坐标关系，巧妙设点就可以轻松求解。第二问更不是难题，平分面积意味着一定过B点，代入即可。

第三部分 思考题解析
【思考1解析】
（1）由图象可知，函数（）的图象经过点，
可得．
y
x
6
B
A
O
1
1
6
设直线的解析式为．
∵，两点在函数的图象上，
∴　　　　解得
∴直线的解析式为．
（2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数是 3 ．

【思考2解析】
（1）把，代入，得：．
x
y
A
B
O
E
D
C

反比例函数的解析式为．
把，代入得．
把，；，分别代入
得， （第16题答图）
解得，一次函数的解析式为．
（2）过点作轴于点．
点的纵坐标为1，．
由一次函数的解析式为得点的坐标为，
．
在和中，，，
．
．

【思考3解析】
解：（I） kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
　　　　． ∴或
（II），∴．
而，∴，．
由题意，有
解之，得．
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．

【思考4解析】
（１）由题意，设B，则
（第22题）

∵B在第一象限，　　　　　
B(４,２)
∴矩形OABC对角线的交点Ｅ为
（２）∵直线平分矩形OABC必过点
∴1=2x2+m
m=-3