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带电粒子在电场中的运动类型归类分析
重庆市万州第三中学 邓德兰

带电粒子在电场力作用下的运动，比较抽象，是高考的重点，也是学生学习的难点。学生在复习这部分后，做题往往感到无从下手。从单元检测来看，涉及到这部分的题，学生普遍做得较差。究其原因，是学生在学习这部分时，不善于联系，不善于归类，导致知识的零散性。带电粒子在电场力作用下的运动问题，实质上是力学问题。只要善于将力学中的物理模型联系起来，从受力情况、运动情况、能量转换等角度去分析，问题就变得比较容易解决。
一、与人造卫星绕地球旋转运动规律相似的模型
题目 质量为m、电量为q的质点，在静电力的作用下以恒定的速率v沿着圆弧从A点运动到B点，其速度方向改变的角度为θ（弧度），AB弧长为s，则A、B两点间的电势差 ，AB弧中点的场强大小E为 。
分析与解 因为此质点只在电场力作用下以恒定的速率沿圆弧运动，故知，此质点做匀速圆周运动，进而推断此质点是处在点电荷形成的电场中，与人造卫星绕地球旋转运动规律相似。
由点电荷形成电场的特点知，同一圆弧上各点的电势相等，故得
又由于质点受到的电场力提供它的向心力，所以 ，而 ，得
拓展：如图所示，两个共轴的半圆柱面形电极间的缝隙中，存在一
M
N
沿半径方向的电场，带正电粒子流由电场区域的一端M射入电场，沿图
中虚线所示的半圆形轨道通过电场并从另一端N射出，由此可知
A． 若入射粒子的电量相等，则出射粒子的质量一定相等
B． 若入射粒子的电量相等，则出射粒子的动能一定相等
C． 若入射粒子的电量与质量比相等，则出射粒子的动量一定相等
D． 若入射粒子的电量与质量比相等，则出射粒子的动能一定相等
分析与解 由于带电粒子在电场中所受电场力方向与运动方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动，电场力提供向心力，即 可得 或者
所以，答案B正确。
后记：带电粒子只在电场力作用下做圆周运动，与人造卫星绕地球旋转运动规律相似，电场力提供向心力，电场力不做功。
二、与竖直上抛运动、自由落体规律相似的模型
题目 平行金属板A、B相距为d，如图（a）所示，板间加有随时间变化的电压，如图（b）所示，设U0和T已知。A板上O处有一静止的带电粒子，其电量为q，质量为m（不计重力）。在t=0时刻受到板间电场加速向B板运动，途中由于电场反向又向A返回。
（1）为使t=T时粒子恰好回到O点，求U0/Ux的比值应满足什么条件？粒子返回O点时的动能是多大？（2）为使粒子在由A向B运动中不碰到B板，求U0的取值范围。
T/2
T
A
B
O
d
U
(a)
t
U
U0
Ux
0
(b)
A
B
M
N
O
(c )

分析与解 粒子前T/2时间内做初速度为零的匀加速运动，与自由落体运动相似；到M点时速度为v位移为s，则： ① ②
粒子在M点，电场反向后粒子做类竖直上抛运动，经T/2时间后回到A板则：
③
由以上①②③式解得：④
粒子返回O点时动能为,则由动能定理得：⑤
由①④⑤解得：
（2）为使粒子在运动过程中不碰到B板，即 ，从M减速到N的位移为s/

由以上得
后记：带电粒子在电场中只受电场力的加速减速问题，与力学中的自由落体、竖直下抛、竖直上抛等运动规律相似，处理的方法一般有：牛顿运动定律、运动学公式、功能观点等。
y
ф
L
U
d
三、与平抛运动规律相似的模型
题目 如图所示一束带电粒子（不计重力），垂直电场线
方向进入偏转电场，试讨论在以下情况中，粒子应具备什么条件，
才能得到相同的偏转距离y和偏转角ф。（U、d、L保持不变）
（1）进入偏转电场的速度相等；（2）进入偏转电场的动能相等；
（3）进入偏转电场的动量相等；（4）先由同一加速电场加速后，再进入偏转电场。
分析与解 带电粒子以初速度v0垂直电场线方向进入匀强电场，做类平抛运动。设粒子带电量为q，质量为m，两金属板间的电压为U，板长为L，板间距离为d，
粒子在垂直电场方向作匀速直线运动 ，
沿电场方向做匀加速运动
讨论： （1）因为v0相同，当q/m相同，r、tanф也相同；
（2）因为1/2mv2 相同，当q相同，则y、tanф也相同；
（3）因为mv0相同，当m、q相同或q/v0相同，则y、tanф也相同；
（4）设加速电压为U/，由，有 。
可见，在（4）的条件下，不论带电粒子的、如何，只要经过同一加速电场，在垂直进入同一偏转电场，它们飞出电场的偏转距离和偏转角都相同。
拓展： 一个初动能为的电子，垂直电场线飞入平行金属板中，飞出金属板的动能为2，如果此电子的初速度增至原来的2倍，则当它飞出金属板的动能为
A .　4 B.　8 C.　4.5 D.　4.25
分析与解 电子在两板间做类平抛运动，两次在板间运动的时间之比为2：1，电子两次在板间的加速度相同，由的，
由动能定理得：第一次进入时
第二次进入时
解得：
后记：不计重力的带电粒子以一定的初速垂直电场线进入匀强电场中，受到恒定的与初速度方向成900角的电场力作用而作类平抛运动，处理方法通常用平抛规律结合动能定理。
四、与单摆运动规律相似的模型
α
α
A

C
β
g/
题目 如图所示，一条长为L的细线，上端固定在O点，下端有一质量为m的小球，将它们置于一个足够大的匀强电场中，场强大小为E，方向水平向右，已知当细线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。如果使细线的偏角由α增大到β，然后将小球由静止开始释放，则β应为多大时才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？若使摆角小于50，其周期多大？

分析与解 从场强叠加的角度，可将带电小球看作在重力场和电场叠加的复合场中运动，复合场力，其等效重力加速度为，方向与竖直方向成α角。悬线小球在A、C间的运动类比一单摆，B点为平衡位置，A、C为最大位移处；
由对称性可直接得出β=2α的结论。
此单摆的周期为
后记：若此题不用等效场的观点及单摆的对称性，用其他方法也可以解，但复杂得多。带电粒子在电场中的摆动问题，一般先由平衡条件找到等效场中的平衡位置，再结合单摆的特性、动能定理等进行求解。
五、与碰撞中弹簧模型相似的模型
原题：带正电的小球B质量为m，静止在光滑的水平面上，带正电的小球A质量为2m，以v0的速度从很远向B运动，求A、B系统的最大电势能。
类比： B物体上连着一弹簧静止在光滑水平面上，A物以v0的速度向B物体运动。
A
B
V0
从很远而来
静止
A
B
V0
静止
类比

分析与解： A与B相隔一定距离时，出现电场力，在电场力作用下，A作减速运动，B作加速运动，当二者速度相等时，距离最短，系统具有的电势能最大。
对A、B系统由动量守恒：mAv0=(mA+mB)v
由能量守恒：
解得：
拓展： 英国物理学家卢瑟福与其合作者做了用α粒子轰击金箔的实验.发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进；少数α粒子却发生了较大角度的偏转；极少数α粒子偏转角度超过了90°；有的甚至被弹回，偏转角几乎达到了180°.这就是α粒子散射实验.为了解释这个结果，卢瑟福在1911年提出了原子的核式结构学说：在原子的中心有一个很小的核，叫做原子核，原子的全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外空间里绕着核旋转。
V
α粒子
金原子核
从很远而来
静止
类比
A
B
V0
请你利用α粒子散射实验结果估算原子核的大小（保留一位有效数字）.（下列公式或数据为已知：点电荷的电势＝，金原子序数79，α粒子质量 ＝㎏，α粒子速度ν＝ m/s，电子电量

类比： B物体连接一弹簧静在光滑水平面上，并与一墙相靠，A以v0的速度冲向B。A先作减速，当速度减为0时，反向加速。当A的速度减为0时，A、B间距离最小，A的动能转化为弹性势。
分析与解： 对于极少数被弹回的α粒子，受到很强的排斥力，可以认为它几乎接近原子核；它先作减速运动，当速度减为0后，反向加速。
∴当α粒子的速度减为0时，α粒子与金原子核间的距离最小，约等于金原子核的半径；此过程中α粒子的动能转化为电势能
∴ 解得：
代入数据解得：
后记：两个带电粒子只在电场力作用下的相对运动，与碰撞中的弹簧模型相似，只有电场力做功系统动能与电势能的总和保持不变。处理这类问题常用动量守恒定律、能的转化与守恒，有时还需结和牛顿运动定律。

带电粒子在电场中的运动形式包括平衡、加速、减速、偏转、圆周运动、摆动等多种运动形式，运用的规律几乎包括了全部力学规律，这是学生学习这部分之所以感到困难的原因所在。在教学中，有意识地把带电粒子在电场的运动形式与学生熟悉的力学运动规律进行类比、联系，不仅能降低学习的难度，更有助于提高学生的“建模”能力，使学生在类比、归类中提高了综合分析能力。
以上只是本人在教学中的一点体会，请提出宝贵意见。

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