数学116C答案(文).docx

高三数学试卷参考答案（文科）

1．C　因为B＝{1，2，3}，所以A∩UB＝{－3}，故选C.
2．A　由＝－i，得z－3＝＝－2＋i，则z＝1＋i.所以选A.
3．D　b·c＝b·[(1－t)a＋tb]＝(1－t)b·a＋tb2＝＋t＝－，解得t＝－2.
4．C　f(x)＝在定义域上是奇函数，但不单调；f(x)＝为非奇非偶函数；f(x)＝－tan x在定义域上是奇函数，但不单调．所以选C.
5．D　因为x>2，所以x2>4，又“x>2”是“x2>a(a∈R)”的充分不必要条件，
所以a≤4.
6．D　依题有＝，得tan α＝－，则cos α＝－.
7．C　运行一下程序框图，第一步：s＝2，i＝4，k＝2；第二步：s＝×2×4＝4，i＝6，k＝3；第三步：s＝×4×6＝8，i＝8，k＝4，此时输出s，即输出8.
8．C　∵f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，
∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；
当4≤x<6时，f(x)＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5；x7＝6也是f(x)＝0的根．
9．A　＝×AB×3×sin 60°，则AB＝2，则BC2＝4＋9－2×2×3×cos 60°＝7，那么BC＝.
10．D　由题目所给的统计图可知，30个得分中，按大小顺序排好后，中间的两个得分为5，6，故中位数me＝＝5.5，又众数m0＝5，平均值＝＝，
∴m0＜me＜.
11．C　由条件可判断点O(0，0)在圆(x－4)2＋(y－8)2＝169内，设弦长为d，则根据条件可求得10≤d≤26，且弦长为整数的直线共有32条，长度不超过14的有9条，所以长度不超过14的概率为.
12．B　由题易知四棱锥O—ABCD的侧棱长为5，所以侧面中底边为6和2的斜高分别为4和2，所以棱锥O—ABCD的侧面积为S＝4×6＋2×2＝44.
13．4　画出约束条件所表示的可行域，可知z在点(3，2)处取得最大值4.
14.　根据三视图知，该几何体由棱长为3的正方体和底面积为，高为1的三棱锥组成，所以其体积V＝33＋××1＝.
15．　f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin(2x＋)，则f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后所得图象的解析式为f(x)＝sin(2x＋2m＋)，由题意得2m＋＝kπ＋(k∈Z)，∴mmin＝.
16.－x2＝1　由P到双曲线C的上焦点F1的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，得＝3，∴c2＝5.又∵F到直线ax＋by＝0的距离为，∴＝，即a＝2，∴b＝1，则该双曲线的方程为－x2＝1.
17．解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为S6＝×6(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝51，得a2＋a5＝17，
又a5＝13，所以a2＝4，于是d＝＝＝3，
所以an＝a2＋(n－2)d＝3n－2.(6分)
(2)由(1)得bn＝2an＝23n－2＝2·23n－3＝2·8n－1，
可知{bn}是首项为2，公比为8的等比数列，
所以Sn＝＝(8n－1)．(12分)
18．解：(1)由题意知：P＝＝.
演讲比赛小组中有x名男同学，则＝，∴x＝1，∴演讲小组中男同学有1人，女同学有3人.
把3名女生和1名男生分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种.其中恰有一名女同学的情况有6种，所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为P＝＝.（6分）
(2)1＝×(69＋71＋72＋73＋75)＝72，
2＝×(70＋71＋71＋73＋75)＝72，
s＝×[(69－72)2＋(71－72)2＋(72－72)2＋(73－72)2＋(75－72)2]＝4，
s＝×[(70－72)2＋(71－72)2＋(71－72)2＋(73－72)2＋(75－72)2]＝3.2.
因此第二个演讲的同学成绩更稳定.（12分）
19．解：(1) ∵AA1⊥面ABC，BC⊂面ABC，
∴BC⊥AA1.
又∵BC⊥AC，AA1，AC⊂面AA1C1C，AA1∩AC＝A，∴BC⊥面AA1C1C，
又AC1⊂面AA1C1C，∴BC⊥AC1.（5分）
(2)(法一)当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.
理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连结AG.
∵B1E＝3EC1，∴EG＝A1C1，
又AF∥A1C1且AF＝A1C1，
∴AF∥EG且AF＝EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，
又EF⊄面A1ABB1，AG⊂面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）
(法二)当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.
理由如下： 在平面BCC1B1内过E作EG∥BB1交BC于G，连结FG.
∵EG∥BB1，EG⊄面A1ABB1，BB1⊂面A1ABB1，
∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，
∴FG∥AB，又AB⊂面A1ABB1，FG⊄面A1ABB1，
∴FG∥平面A1ABB1.
又EG⊂面EFG，FG⊂面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面A1ABB1.
∵EF⊂面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）
20．解：(1)f′(x)＝－2bx，∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
∴解得
所以f(x)＝ln x－x2，f′(x)＝－x＝，
当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<1；令f′(x)<0，得1<x≤e，
∴f(x)在[，1]上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝－.(5分)
(2)当b＝0时，f(x)＝aln x，不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[1，]，x∈(1，e2]都成立，
即aln x≥m＋x对所有的a∈[1，]，x∈(1，e2]都成立，
即m≤aln x－x对所有的a∈[1，]，x∈(1，e2]都成立，
令h(a)＝aln x－x，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min.
∵x∈(1，e2]，∴ln x>0，
∴h(a)在a∈[1，]上单调递增，
∴h(a)min＝h(1)＝ln x－x，∴m≤ln x－x对所有的x∈(1，e2]都成立．
对函数y＝ln x－x求导得y′＝－1＝＜0，
所以函数y＝ln x－x在(1，e2]上递减，
则(ln x－x)min＝ln e2－e2＝2－e2，
所以m≤2－e2.(12分)
21．解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C上，即＋＝1, ①
又椭圆的离心率为，所以＝＝()2＝，②
联立①②可解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
(2)因为直线l的方程为x＝－2，设P(－2，y0)，y0∈(－，)，
当y0≠0时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然x1≠x2，
联立则＋＝0，即＝－·，
又PM＝PN，即P为线段MN的中点，
故直线MN的斜率为－·＝，
又l′⊥MN，所以直线l′的方程为y－y0＝－(x＋2)，
即y＝－(x＋)，
显然l′恒过定点(－，0)；
当y0＝0时，直线MN即x＝－2，此时l′为x轴亦过点(－，0)．
综上所述，l′恒过定点(－，0)．(12分)
22．解：(1)连结AB，∵∠APO＝30°，
∴∠AOB＝60°.
∵OA＝OB，∴∠ABO＝60°.
∵∠ABC＝∠AEC，∴∠AEC＝60°.(5分)
(2)由条件知AO＝2，过A作AH⊥BC于H，AH＝.
在Rt△AHD中，HD＝2，∴AD＝.
∵BD·DC＝AD·DE，∴DE＝.
∴AE＝AD＋DE＝.(10分)
23．解：(1)设动点A的直角坐标为(x，y)，则∴动点A的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9，其轨迹是圆心为(2，－2)，半径为3的圆．(5分)
(2)直线C的极坐标方程ρcos(θ－)＝a化为直角坐标方程是x＋y＝2a，由＝3，得a＝3或a＝－3.(10分)
24．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝而f(x)≥2，
解得x≤或x≥.（5分）
(2)令F(x)＝f(x)＋，则F(x)＝
所以当x＝1时，F(x)有最小值F(1)＝a－1，
只需a－1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞).（10分）
【数学试卷·参考答案 第5页 共5页（文科）】