高中理科数学各类型 概率统计、分布列解答题.doc

高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型
以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值
【背一背重点知识】
1． 随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1．
2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式
3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义．
【讲一讲提高技能】
1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计 数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性．
【练一练提升能力】
1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；
（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．
（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；
（2）求恰好得到分的概率．

3、某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．
(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？
(2)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值．

以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值
【背一背重点知识】
1．若随机变量服从二项分布，则对应的事件是两两独立重复的，概率为事件成功的概率．
2．求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式:若，则
【讲一讲提高技能】
1． 必备技能：利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差，但计算较繁．因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键．判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归纳其概率规律是否满足二项分布．
【练一练提升能力】
1.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为.
(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
(2)设选手甲在初赛 中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80

对商品不满意

合计

200
2.近年来，我国电子商务蓬勃发展．2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．
(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？
(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX．
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n=a+b+c+d为样本容量）
P(K2≥k)
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
k
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635

3.(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．
现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度
分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
(1)指出这组数据的众数和中位数；
(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

以正态分布为背景离散型随机变量的分布列、均值
1、正态分布概念：若连续型随机变量的概率密度函数为
，
其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为～。
标准正态分布曲线
的图象称为正态曲线。
2、正态分布的期望与方差
若～，则
3、正态曲线的性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
（2）曲线关于直线x=μ对称．
（3）曲线在x=μ时位于最高点．
（4）曲线与x轴之间的面积为1
（5）当一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随μ的变化而沿x轴平移
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
4、正态分布在三个特殊区间内取值的概率值

1、语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：
（I）如果成绩大于135的为特别优秀，这500名学生
中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？
（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）
（II）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（I）
中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望．，则，．

2、．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；
①；②；
③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级．
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品
（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；
（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望．

3．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（i）利用该正态分布，求；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数．利用（i）的结果，求．
附：
若则，．

与茎叶图，频率分布直方图有关的概率，分布列与均值
1．某校高一（I）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．

（I）求分数在的频率及全班人数；
（II）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高；
（III）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率．

2、2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在[50，100]内，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．
（Ⅰ）已知该省对本省每家企业每年的环保奖励y（单位：万元）与考核评分x的关系式为y={-7，50≤x<60，0，60≤x<70，3，70≤x<80，6，80≤x<100（负值为企业上缴的罚金）．试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；
（Ⅱ）在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机抽取3家企业座谈环保经验，设X为所抽取的3家企业中考核评分在[80，90)内的企业数，求随机变量X的分布列和数学期望．

3、某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8．0米 (四舍五入，精确到0．1米) 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0．04，0．10，0．14，0．28，0．30 ，第6小组的频数是7 ．

（Ⅰ）求进入决赛的人数；
（Ⅱ）若从该校学生（人数很多）中随机抽取两名，记表示两人中进入决赛的人数，求的分布列及数学期望；
(Ⅲ) 经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9．5～10．5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．

4、未来制造业对零件的精度要求越来越高．3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：μm）．

（I）计算平均值μ与标准差σ
（Ⅱ）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ）；该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件．度量其内径分别为（单位：μm）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0．9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0．9974，0．95443=0．87，0．99744=0．99，0．04562=0．002．

以随机事件为背景（答案）
1、
，∴随机变量的分布列是

随机变量的数学期望
．

2、
即X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
1681
3281
2481
881
181

设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，即X=0，X=1，X=2，…，X=n，这n+1个互斥事件的和事件，则
n
0
1
2
3
4
P(X≤n)
1681
4881
7281
8081
1
∵7281≤90%≤8081，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%．
(2)设该厂获利为Y万元，则Y的所有右能取值为：18，13，8，
P(Y=18)=P(X=0) +P(X=1)+P(X=2)=7281，
P(Y=13)=P(X=3)=881，
P(Y=8)=P(X=4)=181．
即Y的分布列为：
Y
18
13
8
P
7281
881
181
则E(Y)=18×7281+13×881+8×181=140881．故该厂获利的均值为140881．

以二项分布为背景
1、(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为3＝，
选手甲答4道题进入决赛的概率为C·2··＝，
∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P＝＋＝；
(2)依题意，ξ的可取取值为3、4、5，则有P(ξ＝3)＝3＋3＝，
P(ξ＝4)＝C·2··＋C·2··＝，P(ξ＝5)＝C·2·2·＋C·2·2·＝，
因此，有
ξ
3
4
5
P

∴Eξ＝3×＋4×＋5×＝.
2、(Ⅰ) 2×2列联表：

对服务满意
对服务不满意
合计
对商品满意
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
K2=200×(80×10-40×70)2150×50×120×80≈11．111， 因为11．111>6．635，
所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．

X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
27125
54125
36125
8125

3、【解】　(1)众数：8,6；中位数：8.75
(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人．
设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝
(3)从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极幸福”的人的概率为＝，故依题意可知，从该社区中任选1人，抽到“极幸福”的人的概率P＝
ξ的可能取值为0,1,2,3
P(ξ＝0)＝3＝；P(ξ＝1)＝C2＝
P(ξ＝2)＝C2＝；P(ξ＝3)＝3＝
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P

Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.75
另解由题可知ξ～B，所以Eξ＝3×＝0.75.

以正态分布为背景
1、

分布列为：

0
1
2
3

………………11分
数学期望．

2、
3、试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得，
，故；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，故期望．
（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．
与茎叶图，频率分布直方图有关的概率，
分布列与均值（答案）

1、【答案】（I）频率为，全班人数为；（II）频数为，矩形的高为；（III）．

（III）将之间的3个分数编号为，之间的2个分数编号为，
在之间的试卷中任取两份的基本事件为：
，，，，，，，，，共10个，
其中，至少有一个在之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在之间的概率是．
2、【解析】（Ⅰ）由题意可知，a=1-(0．04+0．025+0．02+0．005)×1010=0．01，
所以考核评分与企业数的对应表如表：
考核评分
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
企业数
8
10
16
4
2
所以该省在2016年对这40家企业投放的环保奖励总数为(-7)×8+0×10+3×16+6×6=28（万元），
所以平均值为2840=0．7（万元）．
（Ⅱ）由题意，分数在[80，90)内的有4家，设为A，B，C，D，分数在[90，100]内的有2家，所以X=1，2，3．
所以P(X=1)=C41C22C63=15，P(X=2)=C42C21C63=35，P(X=3)=C43C20C63=15，
分布列为
X
1
2
3
P
15
35
15

3、

（Ⅱ）=0，1，2，进入决赛的概率为3650=1825 ∴～(2，1825)，
P(x=0)=C20(725)2=49625，
，P(x=2)=C22(1825)2=324625．　……………………………6分　　　　　　
所求分布列为

EX=2×1825=3625 ，两人中进入决赛的人数的数学期望为3625．………………………8分
(Ⅲ)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则基本事件满足的区域为
，
事件“甲比乙远的概率”满足的区域为x>y，如图所示． …………………………10分

∴由几何概型． 即甲比乙远的概率为116．……………………12分
4、【答案】（Ⅰ）105μm，σ=6；（Ⅱ）需要进一步调试，理由见解析

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