概率论与数理统计知识点及练习题.doc

第一章 概率论的基本概念
§1.2 概率的定义
一、 概率的性质
（1）.
（2） ， .
（3）.
（4）.
（5）.特别地，若 ， ，.

例 设为随机事件, ， 则
解：

§1.4 条件概率
一、 条件概率
定义 设是两个事件，且，称=为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。
二、全概率公式
全概率公式：为样本空间的一个事件组，且满足：
（1）互不相容，且;
(2) .
则对中的任意一个事件都有

A1
A2
…
…
…
…
…
An
B

例 设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？
解 以、、表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以表示事件“取得的产品为正品”，于是：
按全概率公式 ，有：

三、 贝叶斯公式
设是样本空间的一个事件，为的一个事件组，且满足：（1）互不相容，且;
(2) .
则

这个公式称为贝叶斯公式。
例：有甲乙两个袋子，甲袋中有4个白球，5个红球，乙袋中有4个白球，4个红球．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，
(1)问此球是红球的概率？
(2)若已知取得的是红球，则从甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少

？
解：设A1表示从甲袋放入乙袋的一球是红球，则`A1表示从甲袋放入乙袋的一球是白球，设A2：表示从乙袋取的一球是红球，则

.

§1.5 事件的独立性
一、 事件的独立性
定义. 若两事件，满足,则称，相互独立。

第二章 随机变量及其分布
§2.1 一维随机变量
一、 随机变量与分布函数
定义 设为一随机试验,为的样本空间,若,为单值实函数，则称为随机变量。
S
e

XX

R
X

x
x
o
定义 设为一个随机变量，为任意实数，称函数 为的分布函数。

分布函数的性质
（1） .
（2） 是自变量的非降函数，即当时，必有.因为当时有，从而.
（3） 对自变量右连续，即对任意实数，

§2.2 一维离散型随机变量
一、离散型随机变量
定义 离散型随机变量只可能取有限个或可列个值，设可能取的值为.
定义 设离散型随机变量可能取的值为，且取这些值的概率为：
(
则称上述一系列等式为随机变量的分布律。
由概率的定义知，离散型随机变量的概率分布具有以下两个性质：
（1） （非负性）
（2） （归一性）

二、 几种常用的离散型分布
1. 0—1分布
如果随机变量只可能取0和1两个值，且它的分布列为，则称服从0—1分布。其分布律为：

1 0

1-

2.二项分布
如果随机变量只可能取的值为0,1,2,…,n，它的分布律为 ,(其中，则称服从参数为的二项分布，记为
3.泊松分布
如果随机变量所有可能取的值为0,1,2,…,它取各个值的概率为，其中是常数，则称服从参数为的泊松分布，记为.

例：设，则
例： 设随机变量，则 .

§2.3 连续型随机变量的概率密度
一、 概率密度的概念
定义 设随机变量的的分布函数为，如果存在一个非负可积函数，使得对于任意实数，有：

则称为连续型随机变量，而称为的概率密度。
由概率密度的定义及概率的性质可知概率密度必须满足：
（1） 0 ；
（2） ；
（3） 对于任意实数，且有；
（4）若在点处连续，则有.
例 设随机变量X具有概率密度

（1）试确定常数；
（2）求；
（3）求.
解（1）由，即
=
得.于是的概率密度
；
（2） =;
（3）由定义= 。当时，=0；当时，
= =
所以
.

二、几个常用的连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
如果随机变量的概率密度为

则称服从上的均匀分布，记为。
2. 指数分布
如果随机变量的概率密度为

则称服从参数为的指数分布。
3. 正态分布
如果随机变量的概率密度为
；
其中为常数，则称服从参数为的正态分布，记为. 特别的，当时，称服从标准正态分布，即，概率密度为
标准正态分布的分布函数为
对于标准正态分布的分布函数，有下列等式

定理 如果则

推论 如，则
例 设，求；
解 =.
例 设随机变量，则 .

§2.4 随机变量函数的分布
一、 离散型随机变量的函数的分布
例 设的分布律为
X

0.1
0.2
0.3
0.4
求的分布律。
解 因为的可能取值为，而且
，，
，
因而, 的分布律为
Y

0.1
0.2
0.3
0.4

二、 连续型随机变量的函数的分布
设是连续型随机变量，已知为其概率密度，那么应当如何确定随机变量的概率密度呢？
例 设连续型随机变量具有概率密度，求随机变量（其中为常数且）的概率密度.
解 设的分布函数为，当，则

上式两边对求导数得

当，则

上式两边对ｙ求导数得

于是

第三章 二维随机变量及其分布
§3.1二维随机变量及分布函数
定义 设为随机试验的样本空间，,是定义在上的随机变量，则称有序数组为二维随机变量或称为二维随机向量。

定义 设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布函数，或称为的联合分布函数。

二维随机变量的分布函数的性质
（1） ；
（2） 是变量的不减函数，即：对于任意固定的，当时有 ；对于任意固定的，当时有 .
（3） 对于任意固定的，；对于任意固定的，,并且 ，.

二维离散型随机变量

定义 如果二维随机变量可能取的值只有有限个或可列个，则称为二维离散型随机变量。

定义 设二维随机变量所有可能取的值为，则称为的联合分布律。
二维离散型随机变量的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示：

… ...

.

.

... ...
... ...

... ... ... ... ...

... ...

... ... ... ... ...

显然，具有以下性质：
（1） 1,2,…）;
（2） ;

二维连续型随机变量
定义 设是二维随机变量，如果存在一个非负函数，使得对于任意实数，都有

则称是二维连续型随机变量，函数称为二维连续型随机变量的概率密度。

二维分布密度具有以下性质：
（1） ；
（2） ；
（3） ，其中D为XOY平面上的任意一个区域；
（4） 如果二维连续型随机变量的密度连续，的分布函数为，则

用性质的题在后面

§3.2 边缘分布与随机变量的独立性
一、 边缘分布
称分量的概率分布为关于的边缘分布；分量的概率分布为关于的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作与。

先看离散情况：
若已知，则随机变量的分布律为：

同样得到关于的分布律：，.
记,所以关于的边缘分布律为：

... ...

... ...
关于的边缘分布列为：

... ...

... ...

下面看连续型的情形：
定理 设是的联合概率密度，则

分别是关于的边缘概率密度函数。
1
X
离散型随机变量的边缘分布律列表

Y

§3.4随机变量的独立性
定义 设是二维随机变量，如果对于任意有，则称随机变量与是相互独立的。
即用该式可用来判断的相互独立性。
定理 设是二维离散型随机变量， ，依次是，的概率分布，则相互独立的充要条件是：对所有的，都有 .
定理 设是二维连续型随机变量，分别是联合密度函数与边缘密度函数，则相互独立的充要条件是：对任意的实数，都有 。
Y
X
0
1
2
3
0

1

0
2

0
0
3

0
0
0
例 设(X,Y)的联合分布律为

试求关于和关于的边缘分布，并判断是否相互独立？
解 由表中可按行加得，按列加得得关于X的边缘分布

及关于Y的边缘分布

由于，而，所以互不独立。
例 设二维随机变量具有密度函数

试求:
（1）常数；
（2）落在如图2—4 所示的三角区域内的概率；
（3）关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立。

图2-4
解（1）=
所以;
（2）;
（3）关于的边缘概率密度函数为

当时，=0.
当时，
故有=；
同理可求得关于的边缘概率密度函数为
= .
因为对任意的实数，都有 ，所以相互独立。

第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望
一、 离散型随机变量的数学期望
定义 设离散型随机变量的分布律为

则称其为随机变量的数学期望，记为．
二、 连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量的分布密度函数为，若积分绝对收敛，则称其为的数学期望或均值．记为，．
例 设随机变量服从上的均匀分布，求．
解 由于均匀分布的密度函数为
因而 ．
记住：0-1分布，二项分布，泊松分布的数学期望
均匀分布，指数分布，正态分布的数学期望。

三、 随机变量的函数的数学期望
定理 设为随机变量的函数：(g是连续函数)，（1）是离散型随机变量，分布律为；若级数绝对收敛，则有 ．（2）是连续型随机变量，它的分布密度为，若积分绝对收敛，则有 ．

定理 设是随机变量的连续函数，（1）是二维离散型随机变量，联合分布律为；则有 　　　　　．（2）是二维连续型随机变量，联合分布密度为，则有．
例 设的概率密度函数为

求．
解 ，

四、 数学期望的性质
1． 设是常数，则有．
2． 设是随机变量，设是常数，则有．
3． 设，是随机变量，则有 ．
4． 设，是相互独立的随机变量，则有．

§4.2 方 差
一、 方差的概念
定义 设是随机变量，存在，就称其为的方差，记为即=，称为标准差．
二、 方差的计算
1． =
例 设随机变量服从上的均匀分布，求．
解 由于均匀分布的密度函数为
，

故
三、 方差的性质
1、设是常数，则有；
2、设，是相互独立的随机变量，则有；
3、设是相互独立的随机变量，则．

§4.3 协方差及相关系数、矩
一、 协方差及相关系数的定义
定义 设有二维随机变量，如果存在，则称为随机变量与的协方差．记为，即

称为随机变量与的相关系数．若，称与不相关．
二、 协方差与相关系数的性质
1． 协方差的性质
(1) ；
(2) ----计算公式
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) 若与相互独立，则，即与不相关．反之，若与不相关，与不一定相互独立．
2． 相关系数的性质
(1) ；
(2) 若与相互独立，则；
(3) 当与有线性关系时，即当（为常数，）时，，
且 ；
(4) 的充要条件是，存在常数使．

数理统计的基本概念
§6.1 样本和总体
一、 样本
设为总体的样本，则下列各量均是统计量，它们今后要经常被用到。
（ⅰ）,称为样本均值。
（ii）,称为样本方差。
（iii）,称为样本标准差。
（iv）,称为样本阶原点矩。

为了研究统计量的分布，我们先研究三种重要概率分布。
二、分布
定义 设为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态分布，则称随机变量

服从自由度为的分布，记作～．
分布有下列基本性质。
定理 设,则，。

三、 分布和分布
定义 设，，与独立，则称随机变量

服从自由度为的分布,记成．
定义 设，，与独立，则称随机变量

服从自由度为（,）的分布，记成．

五、 正态总体的抽样分布
Theorem 设总体，为总体的样本，则
(i) 样本均值，
(ii)
(iii) 。

第七章 参数估计
§7.1 点估计
二、 极大似然估计
第一步，写出似然函数
a）对于离散型总体，设它的分布律为未知，其中为样本值，称

为似然函数。
b） 当总体是连续型随机变量时，若的概率密度为，未知，则似然函数为

第二步 求是参空间）,使得达到最大，此即为所求的参数的极大似然估计。 为了计算方便，我们常对似然函数取对数，并称为对数似然函数。易知，与在同一处达到极大，因此，这样做不会改变极大点。
c）对对数似然函数关于求导，再令之为0，即得的最大似然估计值。

例：已知总体服从指数分布，概率密度为
()
是来自总体的一个样本，为相应的样本观察值，求参数的极大似然估量.
解 似然函数为：

令，得的极大似然估计值为
极大似然估计量为

§7.3 区间估计
区间估计粗略地说是用两个统计量，（）所决定的区间[，]作为参数取值范围的估计。
定义 对于参数，如果有两个统计量,，满足对给定的，有

则称区间[，]是的一个区间估计或置信区间，，分别称作置信下限,置信上限，称为置信水平。
二、 单个正态总体参数的区间估计
设为的样本，对给定的置信水平，，我们来分别研究参数与的区间估计。
例 在上述前提下，求的置信水平为的区间估计。
解 下面分两种情况
ａ） 已知，选取的统计量为，由
有
所求的区间是

ｂ）未知，选取的统计量为，由
有

所求区间为
例 在上述前提下求的置信水平为1-的区间估计。
选用统计量，由有
得到方差的一个置信度为的置信区间:

第八章 假设检验
§7.1 假设检验思想概述
例 一台包装机装洗衣粉，额定标准重量为500ｇ，根据以往经验，包装机的实际装袋重量服从正态，其中=15ｇ，为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得洗衣粉净重数据如下（单位：ｇ）
497 506 518 524 488 517 510 515 516
若取显著性水平=0.05，问这包装机工作是否正常？
首先，我们根据以往的经验认为，在没有特殊情况下，包装机工作应该是正常的，由此提出原假设和备选假设：
：=500； ：500
然后对给定的显著性水平=0.05，构造统计量，来进行检验。
一般地，可表述如下：设，已知，为的一子样，求对问题
：=； ：
的显著水平为的检验。
这个问题就归结为，总体服从，已知，需检验，由前所述，用z检验法。用如下步骤来解这个问题。
解 10 提出假设：=， ：
20 构造统计量。用统计量
30拒绝域
称具有这种形式的否定域的检验为双边假设检验。
40 给定显著性水平，在例中，
50 从z的值判断小概率事件是否发生，并由此得出接受或拒绝的结论。因为在20中算出的z值，其绝对值小于1.96，样本点在否定域之外，即小概率事件未发生，故接受，亦即认为包装机工作正常。
二、 检验
检验用于当方差未知时对期望的检验
例 某部门对当前市场的价格情况进行调查。以鸡蛋为例，所抽查的全省20个集市上，售价分别为（单位：元/500克）
3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.90 3.18 3.88 3.22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.22 3.54 3.30
已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克左右，能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年？
对于这样的实际问题，通常可以补充下列条件，首先，一般可认为全省鸡蛋价格服从正态分布，其次,我们定出一个显著水平如=0.05.针对这一问题,提出一个合理的假设是
：； ：
将这一问题一般化就是：设为出自的样本，未知，求对问题
：； ：>
的显著水平为的检验。这属于情形C1．未知的情况,可用检验。即取检验统计量为

拒绝域为

最后根据计算出来的值，看样本是否落在内，若落在内，则拒绝，否则,接受.
具体到例7.5,可算出=20,=3.399,=0.2622，由此计算出=2.477.另外查表可得=2.093<2.477,故拒绝，即鸡蛋的价格较往年明显上涨。