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多功能夫琅禾费演示仪光学原理
该仪器将实现夫琅禾费衍射，展示衍射现象。夫琅禾费衍射是菲涅尔衍射的远场近似，弗朗禾费近似是用平面波来当作子波，夫琅禾费衍射积分公式为
根据衍射屏函数的不同将夫琅禾费分为以下几类
注：该仪器使用振幅为A的平行单色平面光源。
一、 夫琅禾费的单缝衍射的光强分布公式及特征
单缝的屏函数为。
在（1-1）式中 在接收面上的坐标x与衍射角有以下关系：。所以采用分号前与无关的复数用表示，并采用角坐标代替x，即。
令（此处假设以单色平行光照射，振幅为A）
然后将（1-1）式简化进行计算；

即

（此处运用欧拉公式）

令 ， 其中表示夹缝的边缘与中心的光波在P点产生的相位差。所以 所以I=
令表示时,即在接收屏中心处的光强,则有
I= (1-3)
单缝衍射的主要特征:
函数极大值的地方对应于衍射图象的亮条纹.函数值等于0的地方对应于暗条纹
1 主极大---零级衍射条纹
由1-3式知当时.
=0相当于到达屏上点的各衍射子波之间相位相同，产生最大光强，点是衍射斑中心，也就是几何光学像点位置。
2次极大---高级衍射斑
次极大出现在的方位上,即解得

=土1.43 土2.46 土3.47 ……
土1.43 土2.46 土3.47 ……
=4.7% 1.7% 0.8% ……
3暗纹的位置
暗纹出现在不等于0而=0的方位上,对应的I=0,即满足
=土1 土2 土3 …... 土n
土 土2 土3…… 土n
可以将暗纹满足的条件写成
4亮斑的角宽度
对于中央亮条纹,其半角宽度
等于其他各级亮条纹的角宽度。

二，矩形孔径；
矩形孔径的屏函数; ，当用振幅为A的单色平面波垂直照孔径，其夫琅禾费场分布为

=
=（1-4）
令
所以，I==（1-5）。
矩形孔衍射的主要特征
一,衍射光强分布
(1).对于沿x轴的光强分布,因Y=0,有

其特性光强分布与单缝时相同
(2)对于沿Y轴的光强分布,因X=0有:

其特性光强分布与单缝相同
(3)在X,Y轴以外各点的光强度,可按1-8式进行计算,图1-1给出了一些特征点的光强相对值.显然XOY面内存在一些次极大点,但他们的光强极弱

0.007

0.0022

0.047

0.0022

0.017

0.047

1

0.047

0.0007

0.0022

0.047

0.0022

0.0022

0.0007

0.017

0.0007

二 中央亮斑
矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮班处,其边缘在X,Y轴的位置是
x=土和y=土
中央亮斑的面积为 S=,
该式说明，中央亮斑面积与矩形孔面积成反比。并由知，中央亮斑越大，相应点光强越小。
三 夫琅禾费圆孔衍射。
由于圆孔结构的几何对称性，采用极坐标系处理
设：圆孔半径为a，圆孔中心位于光轴上，则圆孔上任意一点Q的位置坐标与相应的直角坐标系为
设：观察屏上任意一点P的位置坐标与相应的直角坐标系的关系

因此，P点的光场复振幅按照（1-1）式，在经过坐标变换后为
（1-8）
其中是衍射方向与光轴的夹角，这里利用了的近似关系
根据零阶贝塞尔函数的积分表达式

可将（1-8）式变换为
（1-9）
这里已利用了为偶函数的性质。再由贝塞尔函数的性质

式中为一阶贝塞尔函数，可得

=
因此，P点的光强度为

= （1-10）
其中是光轴上点的光强；是圆孔的面积
是圆孔边缘与中心点在统一方向上光线间的相位差
夫琅禾费圆孔衍射图样及光强分布特征
（1） 衍射图样，由及（1-10）式可知，夫琅禾费圆孔衍射的光强度分布仅与衍射角度有关，而与方位角无关
（2） 衍射图样的极值特性
由贝塞尔函数的级数定义，可将（1-10）变为

当=0时，即对应光轴上的点，有，它是衍射光强的主极大值。当值满足时，I=0，这些值决定了衍射暗环的位置。在相邻的两个暗环之间存在一个衍射极大值。其位置满足

其中为二阶贝塞尔函数，下表列出了几个中央的几个亮环和暗环的值即相对光强的大小。
圆孔衍射的光强分布
条纹序数

光能分布
中央亮纹
0
1
83.78%
第一暗纹
1.220=3.832
0
0
第一亮纹
1.635=5.136
0.0175
7.22%
第二暗纹
2.233=7.016
0
0
第二亮纹
2.679=8.417
0.00415
2.77%
第三暗纹
3.238=10.174
0
0
第三亮纹
3.699=11.620
0.0016
1.46%
（3） 爱里斑
中央亮纹叫爱里斑。爱里斑的半径由第一光强极小值处的值决定，即

因此
爱里斑的角半径。
四，夫琅禾费多缝衍射
设有N个缝，每个缝的宽度均为a，缝间不透光的部分为b，光栅周期d=a+b称为光栅常数，考虑在接收屏上某一点的光强，相邻两缝至点的光程差和相位差分别为
第一个缝在点产生的光振动复振幅为
第二个缝在点产生的光振动复振幅为
……..
第N个缝在点产生的光振动复振幅为
现将N个缝在点产生的N个振动叠加起来，其合成振幅为

=
=
=
=

夫琅禾费多缝衍射的主要特征
1， 至极大的位置和光强
当dsin, m=0，±1， ±2，±3….
有
2， 极小（零点）的位置
当dsin, m=0，±1， ±2，±3….，=1，2，…,N-1时，
有=0
可见，在相邻两个主极大之间有N-1个极小（暗线），有N-2个次级大。
3.次级大
次级大的位置可以通过对 求导，近似得
例如在m=0和m=1主极大之间，次级大出现的位置。

共N-2个，在 时，衍射强度
即靠近零级主极大的次级大强度，只有零级主极大的0.045倍 ，此外次级大的宽度随着N的增大而减小。当N很大时，它将与强度零点混成一片。成为衍射图样的背景。
4.主极大的半角宽度
第m级主极大峰值的角位置 满足
第m级主极大旁第一个（）极小的角位置应满足
得

5.缺级现象
由于多缝衍射是干涉和衍射的共同效应，所以存在缺级现象。对于某一级干涉主极大的位置，如果恰有 ，即相应的衍射角 同时满足
m=0，±1， ±2，±3….
n=±1， ±2，±3….
即
则该级主极大将消失，多缝衍射强度变为零，成为缺级。
*（特殊图形的公式推导有待确认）
五．特殊图形的衍射光强
1

d=0.25mm,a=0.04mm，a为缝宽，d为两缝间距
则将此组合看作由一个单缝和双缝发生干涉，X轴方向看作无穷远。
单缝的光强
双缝的光强
单缝与双缝发生干涉其光程差
其光强表达式

=+ +

2.

则将此组合看作由两个双缝发生干涉，X轴方向看作无穷远。
第一个双缝光强其中
第二个双缝光强其中
二个双缝发生干涉，其光程差
其光强分布为
=++cos
3

则将此组合看作两个双缝发生干涉在X轴上看作无穷远
第一个双缝光强分布其中

第二个双缝光强分布其中
二个双缝发生干涉，其光程差=0则

=
4

，
则将此组合看作一个三双缝和一个双缝发生干涉，在X轴上看作无穷远
对于三缝光其中强
对于双缝光强其中

三缝与二缝进行干涉光程差
则光强分布公式为
==++cos

5.正方形矩阵
可将此图形衍射看作，在X轴方向11缝衍射与Y轴方向11缝衍射的叠加。因两个多缝垂直因此无干涉现象。
在X轴方向的11个缝 a=0.02mm,d=0.109mm
其光强分布 其中
在Y轴方向的11个缝 a=0.02mm,d=0.109mm
其光强分布其中
所以叠加后光强
6.菱形矩阵
11

可将此图形衍射看作，三个11缝衍射后再进行干涉。
建立如图坐标系，其中为11缝衍射的中央主极大位置，则接收屏上任意一点(x,y) 到三个中主极大的距离为.所以‘
的11缝衍射光强分布其中
的11缝衍射光强分布其中，
的11缝衍射光强分布，其中，由相干光条件知只在两两角平分线上干涉，在角平分线上干涉加强，由于光强随着距中央主极大的距离增大而降低因此只在较近主极大位置出现亮斑，可忽略不计