市赛课教学设计(zuihou).doc

《方程的根与函数的零点》教学设计 哈尔滨市第五十八中学 刘翠
§3.1.1方程的根与函数的零点
关于教材地位与作用的解析
1、第三章“函数与方程”是高中数学的新增内容，是近年来高考关注热点.
2、本节课是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法;是培养学生“等价转化思想”、“数形结合思想”、“方程与函数思想”的优质载体.
3、本节课为下节“二分法求方程的近似解”和后续的 “算法学习”提供了基础，具有承前启后的作用.
关于教学目标的解析
（一）知识目标：
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数。
2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．
（二）能力目标：
培养学生自主发现、探究实践、抽象概括的能力．
（三）情感目标：
在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.
关于教法的解析
“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力” 是进行教学的指导思想，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.让课堂实现“知识的超市、生命的狂欢”，遵循“学生主体、教师主导”的新课改理念，这堂课的基本流程是自学——展示——反馈三步，采用 “启发—探究—讨论”式教学模式.力争使本堂课上能达到师生相长，兵教兵、兵教官，兵兵合作、官兵相长的教学效果。
关于学法的解析
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造和成功的机会
关于教学内容的解析
重点：零点的概念及存在性定理的判定
难点：零点的确定
关于教学过程解析
1 设问激疑 创设情境 2 启发引导 形成概念
3 初步运用 示例练习 4 讨论探究 揭示定理
5 观察感知 例题学习 6 知识运用 尝试练习
7 反思小结 培养能力 8 课后作业 自主学习

教学过程与操作设计
环节
教学内容设置
设计意图

设问激疑 创设情 境

启发引导 形成概 念

初步运用 示例练 习

讨论探究 揭示定 理

观察感知 例题学 习

知识运用 尝试练 习

反思小结 培养能 力

课后作业 自主学 习
问题1 考察下列二次函数与对应的一元二次方程：
(1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0
(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0
(3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴的交点坐标吗?
问题2 你所列的表中你能得出什么结论？
问题3 在问题2得出的结论对二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)和相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)也成立吗?你能根据判别式的不同情况也用表格的形式加以说明吗？
问题4 一元二次函数图像与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的实数根的关系能推广到更一般的情况吗？即对于方程f(x)=0与函数y=f(x)上述结论还适应吗？
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
问题5 对于函数y=f(x) 的零点可等价于那些说法？
问题6（1）零点是一个点吗？
（2）是所有的函数都有零点吗？
（3）若函数有零点，零点一定唯一吗？
（4）根据函数零点的定义，若一个函数有零点，你有什么方法求其零点？
例1 你能说出几个初等函数的例子，并判断它们是否有零点吗？若有求出其零点。
跟踪训练1已知函数y=ax2+bx+c ，若ac<0，则函数f(x)的零点个数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 不确定
问题1 观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象，
.
.
.
.
.
x
y
0

3
2
1
1
2

4

发现这个二次函数在区间[－2,1]上有零点x＝－1 而f(－2)>0， f(1)<0 即 f(－2)·f(1)<0。二次函数在区间[2,4] 上有零点x＝3，
而f(2)<0 ，(4)>0 即 f(2)·f(4)<0。
有以上两步探索，你可以得到什么样的结论？
函数零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
问题2 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是间断的，上述定理成立吗？你能结合函数的图象举出例子吗？
问题3 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？你能结合函数举出例子吗？
问题4 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，满足上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一的零点？
总结：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：
（1） f(a)·f(b)<0 能推出函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；
（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点推不出f(a)·f(b)<0。
例2 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：方法1: 函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数，即为函数f(x)=lnx+2x－6的图像与x轴交点的个数，由其函数图象可知，有一个零点。
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9

方法2 : 用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表
x
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
f(x)
 -4
 -1.3069
 1.0986
 3.3863
 5.6094
 7.7918
 9.9459
 12.0794
 14.1972
由表可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。
方法3：函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数；等价于方程lnx+2x－6=0根的个数；等价于方程lnx=-2x+6根的个数；等价于函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根。
x
y
0
2
2
1
.
.
.

跟踪训练2 观察下表，分析函数f(x)=3x5+6x-1 在定义域内是否存在零点？

x
－2
－1
0
1
2
f(x)
-109
-10
-1
8
107

变式训练2 求函数f(x)＝2x＋x的零点个数．

解：解法1：∵f(0)＝1＋0＝1>0，
f(-1)＝<0，∴f(x)在(-1,0)上必定存在实根又显然f(x)＝2x＋x在R上为增函数，故f(x)有且只有一个实根．

解法2：在同一坐标系下作出h(x)＝－x和g(x)＝2x的叠合图．由图象知y＝2x和y＝－x有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋x有且只有一个零点．

当堂检测
1. 求下列函数的零点
（1）x2-4x＋4＝0 （2）y=x-1
（3）y=2x-2 （4）y=lgx-1
2．根据下列函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
(1)
x
y
0

3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.

(2)
x
0

5
y
2
4
1
2
4
3

-1
-2
-3
-4

3 函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是（ ）
A (-2,-1) B (-1,0) C (0,1) D (1,2)
本课小结：
1．函数零点的定义
2．等价关系
3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

本节作业：
1 教科书92页第2题
2 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的值．

板书设计：
§3．1．1 方程的根与函数的零点

多
媒
体
演
示

一、函数零点的概念
二、三个等价关系．
三、判定零点的存在性：
定理
方法：
方程
图像
定理

例1：

例2：

跟踪训练１：

跟踪训练2：

有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础．

把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力

利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.
引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“转化”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ．

通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.

引导学生思考如何应用定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用计算器完成对应值表，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.

通过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“函数零点存在或所在区间”这一类问题．

对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，同时反映教学效果，便于教师进行查漏补缺.

通过师生共同反思，优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质.

巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维．达到熟练使用零点定理的目的（没有图像的情况下），同时为下一节课作好铺垫。

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