必修二立体几何较难题汇总.doc

1.四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（　　）
A) B) C) D)

如图，连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N，
由于F、G分别是三角形的重心，
所以M、N分别是BC、CD的中点，
且AF：AM=AG：AN=2：3，
所以FG：MN=2：3，
又MN：BD=1：2，所以FG：BD=1：3，
即两个四面体的相似比是1：3，
所以两个四面体的表面积的比是1：9；故选C．
如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F．已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB︰BC＝1︰3，求AB，BC，EF的长
设平面α‖β,A、C∈α,B、D∈β直线AB与CD交于S，若AS=18,BS=9,CD=34,则CS=?68/3或68
与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有多少个?
七个
你可以把它想象成一个三棱锥
四个顶点各对应一个 有四个，
两条相对棱对应一个 共三组相对棱 因此有三个
总共有七个
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，
已知BD=2AD=8， AB=2DC=。

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积

解：（1）证明：在中，由于，，，
所以
故
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面。

（2）过作交于O，
由于平面平面，
所以平面
因此为四棱锥的高，
又是边长为4的等边三角形
因此
在底面四边形中，，，
所以四边形是梯形，
在中，斜边边上的高为，
此即为梯形的高，
所以四边形的面积为
故。

（2008福建）(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
A. B.
C. D.
.（15）如图，二面角的大小是60°，线段.，
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1－BD－C1的大小。
【解析】（1）在中，，
得：，
同理：，
得：。
又DC1⊥BD，，
所以平面。
而平面，所以。
（2）解法一：（几何法）
由面
。
取的中点，连接，。
因为，所以，
因为面面，所以面，从而，
又DC1⊥BD，所以面，因为平面，所以。
由，BD⊥DC1，所以为二面角A1－BD－C1的平面角。
设，，则，，
在直角△，，，
所以。 因此二面角的大小为。

(2007)2、(北京市西城区2012年4月高三抽样测试)下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出
平面的图形的序号是（ ）

A. ①、③ B. ①、④ C. ②、③ D. ②、④
答案：B
3、(吉林省吉林市2012届上期末)三棱锥P—ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，试问下面的四个图像中哪个图像大致描绘了三棱锥N—AMC的体积V与x的变化关系（）（ ）

答案：A
ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.

平面α过正方形ABCD- A1B1C1D1的三个顶点B,D, A1,α与底面A1B1C1D1的交线为L,则L与B1D1的位置关系？

如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ。求证：PQ∥面BCE

4下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是(　　)．

空间三条直线，其中一条和其他两条都相交，那这三条直线中的两条能确定的平面个数是多少
1、 若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面；
2、 若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。
3、 若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。
答案：一个或三个
线面平行的判定定理证明
线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
线面平行的定义是：若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。
证明：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。用反证法证明a‖α。
假设直线a与平面α不平行，则由于a不在平面α内，有a与α相交，设a∩α=A。
则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。
过点A在平面α内作直线c‖b，由a‖b得a‖c。
而A∈a，且A∈c，即a∩c=A，这与a‖c相矛盾。
于是假设错误，故原命题正确。（反证法）

例题2从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值．

解答 考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC1，D1B1，A1D，它们所在直线两两都是异面直线．又若有5条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故 K的最大值是4．

练习1 在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少

解答 两端点都为顶点的共线三点组共有个；两端点都为面的中心共线三点组共有个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有个．
例题3在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P最短，求AP+D1P的最小值．
解答 将等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至，使三角形与四边形A1BCD1共面，联结，则的长即为AP+ D1P的最小值，所以，

练习3已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1的对棱BB1、D1上有两个动点E、F，BE=D1F=（）．设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，求的最小值．
解答 当时，．不难证明是单调减函数．因此的最小值为．
例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积是 ．
分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：
R
O
E
D
C
A
P

B
∴
练习：同样可用体积法求出棱长为的正四面体的外
接球和内切球的半径．分析可知，正四面体的内切球
与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，
可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三．故只要求出正四面体的高度即可．
又：，所以，．
例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分的体积比．
F
E
O
M
D
C
B
A
P
H
G
分析：取BC的中点D，连接PD交AM于G，设
所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由
直线与平面平行的性质定理得：EF∥BC，连接
AE，AF，则平面AEF为合乎要求的截面．
作OH∥PG，交AG于点H，则：OH=PG．
；
故：；于是：．

8、如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有
(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条

解：在a、b、c上取三条线段AB、CC¢、A¢D¢，作一个平行六面体ABCD—A¢B¢C¢D¢，在c上取线段A¢D¢上一点P，过a、P作 一个平面，与DD¢交于Q、与CC¢交于R，则QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交．由于可以取无穷多个点P．故选D．

3. 设四棱锥的底面不是平行四边形, 用平面去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ( )
(A) 不存在 (B)只有1个 (C) 恰有4个 (D)有无数多个

例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为
（A）4； （B）8； （C）12； （D）24．
分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线．考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为个．
例 1在桌面上放着四个两两相切、 半 径均为r的球， 试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个 球均相切的小球的半径．

(2012重庆)9.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
（2010全国）(6)直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ C ）
(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°
6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.
【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线
与所成的角，又三角形为等边三角形，
过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线a，使 a与棱AB, AD, A A1所在直线所成的角都相等，这样的直线a可以作（ D ）
A)1条 B）2条 C）3条 D）4条
(2010重庆)（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( D )
（A）只有1个 （B）恰有3个
（C）恰有4个 （D）有无穷多个
11．如图，M是正方体的棱的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线、都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线、都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线、都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线、都平行.
其中真命题是：

A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
3、 如图：在正方体中，EF分别是棱BC与的中点.
求证：EF //平面(方法两种)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F

4、 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点.
P
A
D
B
C
Q
求证：PC//平面BDQ（隐含中点的运用）

（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。求证：BF∥平面A’DE（方法两种）

18. （本小题满分12分）
如图，直三棱柱，，，点分别为和的中点
证明：；