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〖典型例题--不定积分与定积分〗
例1（96303）设，求
注1不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是集合，后者是该集合中的一个元素。
注2第一换元法（凑微分法） 注3 第二换元法
例2（93203）设，，，则＝
(A)(Ｂ)(C) (D)
例3 设是的一个原函数，则＝_____________.
注 分部积分法
变式1 (94406) 设是的一个原函数，则＝_____________.
变式2 (05111) 曲线的方程为，点是它的一个拐点，它在点和的切线交于.设连续，求.
例4 已知，求
变式1 (04104) 已知，，则＝__________.
例5 (02403) 不恒为零的函数连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ）
（Ａ）Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
注 连续奇函数的每个原函数都是偶函数，连续偶函数有且仅有一个原函数是奇函数
例6 求不定积分 解一三角代换 解二 根式代换 解三 倒代换
注 常见的三角代换(1),(2) , (3) ,
变式1 (01206) 求不定积分
例7 求不定积分
注 求不定积分时，有时不能直接得到结果，但可通过循环或解方程而得到结果
例8 建立不定积分的递推公式（为正整数）
例9 (94105) 求不定积分注 万能公式要有选择地使用
变式1求定积分
例10 (94103) 设，，
，则的大小关系为_ _ 注 对称区间上的定积分应充分考虑被积函数的奇偶性
例11 (97103) 设，则（ ）
（Ａ）为正常数（Ｂ）为负常数（Ｃ）恒为零（Ｄ）不为常数
注1 如果连续函数以为周期，则,
注2 如果连续函数以为周期，则以为周期的充要条件是
例12 设在上连续，且满足，求
变式1设在上连续，且满足，求
例13 (87103) 设连续，,,则的值（ ）
(A) 依赖于(B依赖于C依赖于，不依赖于D依赖于，不依赖于
注 定积分与积分变量无关
例14 求定积分（１）（２）
例15 证明Wallis公式
例16 (90105) 求定积分
例17 求定积分
例18 (92105) 设，求
变式1 (04304) ,求
例19 (98103) 设连续，则＝________
变式1 (99103) =__________________
例20 (04104) 把的无穷小量,, 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )（A） （B） （C） （D）
变式1 (99203) 设,, 则当时，是的（）
（Ａ）高阶无穷小（Ｂ）低阶无穷小（Ｃ）同阶但不等价无穷小（Ｄ）等价无穷小
例21 当取何值时，积分
例22 计算广义积分
变式1 (99206) 计算广义积分
变式2 计算广义积分
例23 (98206)计算广义积分
变式1 (00203) 计算广义积分
变式2 (05404) 下列结论中正确的是
(A) 与都收敛 (B) 与都发散
(C) 发散,收敛 (D) 收敛,发散
例24 设无穷积分收敛，，，求
注 牢记概率积分公式
〖典型例题--积分等式与不等式的证明〗
例1设在上有二阶连续导数，，试证
例2 (88108) 设在上连续，，试证方程在内有且仅有一个实根
变式1设在上有二阶连续导数，，试证存在使
例3试证
例4设在上连续,(1)试证;(2)计算
变式1 求
变式2 设为任意实数，试证
例5（00106）设在上连续, ，，试证在内至少存在两个不同的点，使
变式1设在上连续, ，，试证在内至少存在两个不同的点，使
变式2设在上连续, ，在上有连续的导数，，，，试证在内至少存在两个不同的点，使
变式3设在上连续, ，，试证在内至少存在两个不同的点，使
例6（01208）设在上有二阶连续导数，，（1）写出的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）试证在上至少存在一点，使
例7 设在上连续，在内可导，且，试证在内至少存在一点，使
变式1设在上连续，在内可导，且，试证在内至少存在一点，使
例8设在上连续，在内可导，，，试证
变式1 (04308) 设,在上连续,且满足，，，试证
例9 设在上连续，，试证
例10 试证 ，其中
变式1 已知，试证
证明：
变式设在上有二阶连续导数,,,试证
〖典型例题—定积分的应用〗
例1 求曲线在内的一条切线，使该切线与直线及曲线所围成的图形面积为最小。 注 平面图形的面积
例2 (92206) 过点作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。 注 旋转体的体积
例3 (93309) 设平面图形A有与所确定，求图形绕直线旋转一周所成的旋转体的体积。
例4 (97208) 设曲线L的极坐标为，为L上任一点，为L上一定点。若极径与曲线L所围成的曲边扇形面积等于曲线L上两点间弧长的一半，求曲线L的方程。 注 弧长的计算
例5 (97208) 设函数在上连续，在内大于零并满足（为常数），曲线与所围的图形S的面积值为，求函数，并问为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小？
变式1 (00208) 设曲线与交点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线围成一平面图形，问为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最大？最大体积是多少？
例6 (98208) 设有曲线，过原点作其切线，并由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的表面积 注 旋转体的侧面积
例 7 设x轴上有一线密度为，长度为的细杆，有一质量为的质点到杆右端的距离为.已知引力系数为，则质点和细杆之间的引力的大小为（ ）
A）B）C)(D)
例8 边长为和的矩形薄板与液面成角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深处，设，液体的比重为，求薄板受到的液体压力。
例9 设曲线，，求此曲线所围成的平面图形绕直线旋转一周所得的旋转体的体积
例10 求心脏线和直线所围成的平面图形绕极轴旋转一周所得的旋转体的体积 注 极坐标图形，绕极轴旋转一周所得的旋转体的体积为
例11 (03408) 设某商品从时刻0到时刻的销售量为，，欲在T时刻将数量为A的该商品销售完，试求（1）时刻的商品剩余量，并确定的值（2）在时间段上的平均剩余量
例7．将sinx展开成的幂级数
解：sinx===
=
【例6】将函数展开成的幂级数。
解：
一、 1、近似计算
取前几项和做近似计算时，估计误差的方法有三：
（1）中把每一项适当放大，成为一收敛的等比级数
（2）泰勒公式的余项 （3）交错级数中
例：求的值，精确到小数点后四位（即
解：（误差不超过0.0001）
取X=1时
若取前n+1项的和来近似计算e，估计误差有两种方法
方法一：
即只要当时
所以≈≈2.7183 .（即前8项和）
方法二：，在0到X间
即只要 当时
所以≈
例：求近似值，误差不超过0.0001
解： ，（交错级数） .切取前3项的和≈≈0.9461
第 七 章 测 评 题
1. 判别级数的敛散性． 2. 若果收敛，但发散，那么级数收敛吗？为什么？ 3. 设级数与都收敛，且有（n=1,2,3…..）问级数收敛吗？为什么？
4. 证明极限. 5. 证明：若收敛，则也收敛.
6. 判别是条件收敛还是绝对收敛．
7. 判别级数的敛散性．
8. 证明级数收敛，并求其和的近似值，使绝对误差小于．
9．求幂级数的收敛区间及和函数，并计算常数项级数 的和．
10. 求幂级数的收敛区间及和函数，并计算常数项级数 的和
11．下列四个结论中正确的是_______________.
（1） 函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数
（2）函数的麦克劳林级数一定是此函数的幂级数的展式
（3）函数的幂级数展开式不一定是其泰勒级数
（4）函数的麦克劳林级数一定是它的麦克劳林展式．
特别提示：把函数展成指定型的幂级数的时候，自然要写出所展幂级数的收敛区间．
12. 把函数；
(1) 展成的幂级数； (2) 展成型的幂级数；(3) 展成型的幂级数．
13. 函数展成的幂级数．
14. 把函数展成的幂级数，并确定其收敛区间，再由此求出常数项级数的和．
第七章测评题参考答案
1． 考虑收敛的必要条件，可知道，故级数发散.
2． 发散．用反证法可以证明.
3． 收敛.．此题容易出现下列错误的证明方法：，而收敛；所以由比较判别法知道，收敛．（忽略了比较法是对正项级数而言）．正确做法如下：，由性质知道收敛，又比较判别法知道收敛，而， 收敛．
4． 用比值法考察的收敛性，再由级数收敛的必要条件，即可证得．
5． 提示：考虑不等式．
6． 条件收敛．提示：因．本题也提示我们对于交错级数不能开始看有没有标志．
7． 收敛于；此题是交错级数，但不能用莱布尼兹判别法，因为不满足单调的条件，考虑用收敛定义，研究的极限．
8． 提示：由莱布尼兹判别法容易判别该级数收敛；又由于收敛的交错级数其误差；只要；所以计算即可．．
9． （-1，1） ； ； 4．
10． , . 11. (1)
12.(1) , (2)
(3) , .
13． 提示：=；； (-1,1).
14．；； .
1. 在指定的区间内把下列函数展开成傅里叶级数：
(1)
(2)
3）
解 （1） 是的奇函数，所以
因在连续且光滑，所以
因在上光滑且连续，所以
2是上的偶函数,故 ,
又在上光滑，故
(ii) ，
又在上光滑，故
(3)
所以
2. 把函数
展开成傅里叶级数，并由它推出：
解：是上的奇函数,故.
.
又在连续,故.
当时, .当时,
当时,当时,
所以,,即.
3．设函数满足条件：。问些函数在内的傅里叶级数具有什么特性。
解：
令即，则
当为偶数时
当为奇数时
故当为偶数时， 同理可证：当为偶数时，
特点：当为偶数时，
4．求下列函数的傅里叶级数展开式：
（1） 解：
所以
（2） 解：
是上的偶函数，故
所以
当时，上式右端级数收敛于
（3）
解：
所以
注意到与为上的偶函数，为上的奇函数，有
所以
(2). (周期1)
解:
所以 (为整数).当为整数时, 上述右边的级数收敛于
(3). (周期).
解:
(因为为上的偶函数).
所以
(4) (周期).
解: 为以为周期的函数.
所以.
6. 求函数的傅里叶级数并讨论其收敛性.
解: 函数的周期为3, 即
因为在按段光滑且连续，故
3.将下列函数展成正弦级数或余弦级数.
（1） ( ),展成正弦级数。
解：将函数做奇延拓
（2） ，展成余弦级数 解：将函数做偶延拓
（3） ，展成正弦级数。
解：将函数做奇延拓
4．设
（1） 展成以2为周期的正弦函数
解：做奇延拓
（2） 展成以2为周期的余弦函数
解：做偶延拓
【例8.47】设是周期为2的周期函数，它在上定义为
则的傅立叶级数在处收敛于 。
【详解】根据收敛定理，的傅立叶级数在处收敛于（间断点）
【例8.48】设函数，而，其中，则 。
由的形式可知：这里对所做的是奇延拓，即，
【例8.50】设，则= .
【分析】 将展开为余弦级数
，
其系数计算公式为.
【详解】 根据余弦级数的定义，有
=
==1.
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