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第六讲：函数以及应用
例题讲解：
1、已知抛物线；
（1）求证：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线的顶点为C，与x轴两个交点为A、B。当m为何值时，△ABC是正三角形。

2、已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点；
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的相切；
（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：；

3、如图，开口向下的抛物线与轴交于、两点，抛物线上另有一点在第一象限，且使∽，（1）求的长及的值；（2）设直线与轴交于点，点是的中点时，求直线和抛物线的解析式。

4、在直角中，，直角边与直角坐标系中的轴重合，其内切圆的圆心坐标为，若抛物线的顶点为A。求：
⑴ 求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
⑵ 用表示B点的坐标；
⑶ 当取何值时，。

5、如图，□ABCD在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且
（1）求的值；
（2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？
（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；

6、点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖．某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1万元／台，并预付了5万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元．若一年内该产品的售价（万元／台）与月次（且为整数）满足
关系是式：，一年后发现实际
每月的销售量（台）与月次之间存在如图所示的变化趋势．
⑴ 直接写出实际每月的销售量（台）与月次之间的函数关系式；
⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润（万元）与月次之间的函数关系式；
⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高，并指出最高售价；
⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量．
36
4月
20
40
Ｏ

（台）
12月

7、如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心。AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。
（1）当 ∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF的中点；
（2）设AE=， FC=，求关于的函数解析式；并写出函数的定义域；
（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△ D1EF，当EF=时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

图1 图2
8、二次函数的图象的一部分如图所示。已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，l）。
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当ΔAMC面积等为△ABC面积的倍时，求a的值。
（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由。