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数学笔记—7．2等差数列
一．等差数列的定义及其有关概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用小写字母d表示。
即
2．等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项。反之也成立。
结论：如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数。
3．等差数列的通项公式：
推广：
4．等差数列的递推公式：是以为首项，以d为公差的等差数列的递推公式
注：
（1）等差数列的通项公式是关于的一次函数（常数列除外）
其图象： 一条直线上的一群孤立点
（2）如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成等差数列
证明：若它是以为首项，a为公差的等差数列。
（3）公式中若 则数列递增， 则数列递减
5．判断一个数列是否成等差数列的常用方法
（1）定义法：即证明
（2）中项法： 即利用中项公式，若 则成等差数列；
若数列满足或
对一切自然数n都成立，则数列为等差数列。
（3）通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质。
（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
6．等差数列的性质
若正整数满足m+n=p+q，数列是等差数列，则
二．数列的前n项的和
1．定义：叫做数列的前n项的和。
2．等差数列的前n项的和公式及推导
（1）（利用倒序相加法）
（2）（）
3．等差数列前n项的和的性质
（1）成等差数列；
（2）在等差数列中,有关Sn的最值问题
方法一：邻项变号法求解：
①当,d<0时，满足的项数m使得取最大值.
②当,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
方法二：利用二次函数求最值的方法求最值
（3） →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件。
4．通项公式与前n项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：
5．等差数列的前n项的和的性质
（1）等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍
；
（2）若等差数列的项数为2，则；
（3）若等差数列的项数为，则，且，.