在解题反思中进行深度学习.pdf

本文系上海市浦东新区区级课题“双新 背景下指向核心素养发展高中数学单元作业实践研究”(C )的成果在解题反思中进行深度学习 上海市进才中学张乐瑛摘要:在数学学习中,解题是深度学习的重要途径学生在解题过程中进行反思性学习是深度学习的有效方式由于“反思”难以自发形成,故教师应在解题教学中发挥主导作用,努力将“反思”融入主体思维活动中关键词:解题;反思性学习;深度学习深度学习是一种主动的、探究式的、理解性的学习方式,要求学习者掌握非结构化的深层知识,并进行批判性的高阶思维、主动的知识建构、有效的迁移应用及真实问题的解决在数学学习中,解题是学生进行深度学习的重要途径之一,解题教学是以数学问题为载体,以帮助学生掌握数学知识和基本技能为目的而进行的数学教学波利亚在 怎样解题 中指出:解题的价值不在于答案本身,而是在于弄清“怎样想到这个解法的?”“是什么原因引发了我们这样的思考?”解题教学的目的是让学生在解题过程中体会思维过程、感悟思想方法,掌握解决新问题的能力,实现反思性学习反思性学习是学生通过自我监控、自我反思,认识学习过程的一种思维方式;是出现问题及时反思、及时调节,以达到学习目标的一种学习方式这与总结出的深度学习者的 种品性(思维习惯)中的反思自我思维(元认知)是一致的:深度学习者在行动前进行头脑中的排演时会调用元认知,他们会在计划实施时进行监控,即如果计划在实施时不奏效,则会意识到需要中途纠正;他们也会出于自我评估目的而对计划进行反思在教学实践中,学生“数学的反思”很难自发地形成如何在解题教学中通过学生的反思性学习来加强学习的深度?笔者进行了如下思考与实践一、主动自我监控 关注生成性错误在解题教学中,教师常常遇到一个同类型的问题讲解多遍后学生仍旧会在解答中出现同样错误的现象,这不仅让教师情绪受挫,也会使学生没有成就感产生这种现象的主要原因是,学习过程是新知识与大脑中已有的旧经验不断地冲突与融合的过程,也是建构主义提出的同化和顺化的过程,这个融合需要学生在知识迁移存在障碍时,通过反思性学习监控知识形成的过程,及时找出问题所在,反复纠正错误概念,主动巩固知识体系,这样才能保证知识的准确性和科学性在解题教学中,教师要鼓励学生勇敢尝试,理解他们在解题中出现的任何错误都具有一定的“内在”合理性,是符合“数学现实”的更重要的是,在订正的过程中,教师和学生都需要关注“生成性错误”,找出问题所在才能有所突破,而不是只关注正确的解答,对原来的错误不予理睬曾有学者将高中生数学解题错误主要分为以下几类:知识性错误、逻辑性错误、策略性错误、心理性错误这些错误在解题中往往是交替出现、相互影响的这些错误出现的原因有很多,但都在一定程度上揭示了学习者的知识储备等方面的重要信息学生在解题中的生成性错误看似是其学习的“绊脚石”,却可 经教师点化,自我 探 究,找 出“痛点”,对症下药,成为学生发展的“脚手架”案例若函数f(x)xa x(x(,)有零点,求实数a的取值范围(问题解答、反思错误、自我调整如表所示)恩格斯说过:“要明确地懂得理论,最好的道路就是从本身的错误当中,从本身经历的痛苦体验中去学习”在解题教学中,教师要引导学生通过深切体验和深入反思,对自身关于学习对象的“前理解”进行不断修正,对生成性错误主动纠错,从而实现深度学习二、在反思中探究 用说和做来延伸弗赖登塔尔曾说:“数学思维的发展主要是由较低层次上升到更高的层次;但是,只要儿童没能对自己的活动进行反思,他就达不到高一级的层次”根据人们关于“读、听、看、说、做”对记忆效果的研究,“说和做”对记忆的效果最佳,因此,教师可上海中学数学 年第期表问题解答解法:因为f(x)在,是连续的,f(x)在(,)有 零 点,所 以f()f(),则(a),即a解法:f()或aaf(),则ao raa或ao raaa,所以a(,)(,)解法:(),即ao ra对称轴xa,若a,a(,)符合;若a,a(,)不符(),则ao ra,因为对称轴xa,所以a,则aa,解得a(,)反思错误“零点存在性定理”理解错误对 于 图 像 连 续 的 函 数yf(x),在区间(a,b)上有零点不能推出f(a)f(b)分类讨论不全面遗漏两个相等的实根在区间(,)内以及一根为,另一根在(,)内的两种情况对 于 方 程 的 两 根aa,aa,至少有一个根在区间(,)内自我调整订正:()在(,)内有两根(相等或不等),af()a;()在(,)内仅有一根,若f()另一根为a,f()f()a,综上,a订正:如果用 求 根公 式,不需 要 对 判 别 式 再分类,aa或aa,解分式不等式要注意分类和两边同号后再平方,可得a或aa或a,故a图形分析:其他解法:因为x(,),所以axx,且函数yxx在x(,)的值域为,),所以aa以让学生在反思中多说和多做,学生经过自我总结和教师指导后将正确思路以授课的形式向同学、教师再讲一遍,也可以针对自己先前的错误进行分析费曼学习法的逻辑关系就是“学习理解解释记忆记住重述”同时,还可以指导学生以小任务的形式更积极深入地思考,通过总结和整理的过程可以想得更清晰、更全面其中,小任务可以是对多个同类问题进行梳理,也可以是对一个问题不同角度的解法进行总结案例(举三反一,梳理同类问题)图是学生对基本不等式中一类常见问题的反思笔者在课堂中讲解两遍后,某学生仍然出现典型错误笔者尝试运用“订正总结”的方式首先以书面形式指出上述解法中的错误根源 两次基本不等式不能同时取到等号,然后列出两种正确解法,一种是利用条件进行等量变形(正确解法),另一种是先利用条件来减少变量,再使用基本不等式(正确解法)最后对解答过的同类型问题进行上海中学数学 年第期梳理,巩固认识教育心理学家迈克卡提出的学习策略中的认知策略包括复述策略、组织策略及精细加工策略,对知识的编码、储存有着直接的影响这些策略的应用,可以将知识存储于长时记忆中,反复提取后可以实现自动化问题若正实数x,y满足xy,求xy的最小值典型错误:因为x,y,则x,y,则xyxyx y,当且仅当xy时等式成立,又因为xy,即x,y,所以x y,则xyx y错误原因:两次基本不等式取等号的条件不同,所以不能同时取等号正确解法:因为xy,所以xy(xy)(xy)yxxy,因 为x,y,则yxxyyxxy,当且仅当yxxy时等式成立,即当x,y 时,xy的最小值为正确解法:因为xy,所以xyy,则xyyyyy(y),因为y(y)y(y),即当x,y 时,xy的最小值为可解决题目已知axbyc,求d xe y的最值同类题目正实 数x,y满 足xy,求xy的最小值图三、加深认识,学会选择 在比较中提升在解题教学中,学生常常会遇到一题多解,即对于同一个问题,不同学生的切入角度往往不同教师不仅要理解学生的解题思路和方法,更需要带领学生对不 同解题思 路与步骤进 行讨 论 和 对比,逐步帮助学生掌握探究思路,学会选择合适的方法来解决数学问题教师陪伴学生经历选择的过程,让学生不断体验不同选择带来的过程的难易,自然优化出适合自己的方法,在这个过程中通过自己的总结和反思不断上升到更高的层面案例如图,已知抛物线C:yx,过焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且与其准线交于点D,P是该抛物线上的动点,点Q是抛物线的准线与x轴的交点,当|P F|P Q|最小时,求点P的坐标图本题研究的是一个动态图形问题点P是抛物线上的动点,点Q,F已确定,将点P的坐标设为变量,用代数运算进一步解决问题这是一道考试题,在试题讲评时,将学生的答题思路作为材料进行分析(如表所示)学生针对上面三种思路进行讨论,总结如下解析几何 的 本 质 是 用 代 数 方 法 研 究 几 何 问题,以上各种解 法都很好地 体现了这一本 质,但过程又有所不同思路进行了条件和所求的代数化,思维量小,但需要扎实的运算基本功、一丝不苟的运算态度和较强的运算自信心方能完成思路和思路利用几何背景将问题进行转化,将比值转化为锐角的三角比,将锐角的正弦值转化为正切值,将最值问题转换为特定位置的确定等,这些转化都降低了运算量,简化了计算过程选择后两种思路的学生能够意识到思路的代数计算 较 为 繁 琐,具 备 了 一 定 的 判 断 与 评 价 能力,能搭建不同 知识之间的 联系,具备 更好的分析能力,在问题的解决过程中表现出更高层次的思维一题多解的目的是通过观察、倾听、分析,发现自己或他人问题解决方法中的不足和缺陷,及时指出(评价)并能够找到完善方案,甚至另辟蹊径重新设计新的方法,重新予以评价学生经历选择的过程,体验不同选择带来的过程的难易,反思后优化出适合自己的方法,从而提升思维上海中学数学 年第期表具体过程思路利用抛物线的定义、两点间的距离公式、抛物线方程,得:|P F|x,|P Q|(x)y(x)xxx,则|P F|P Q|xxxxxxx,因为点P(x,y)在抛物线上,所以x,则|P F|P Q|xx(当且仅当xx时,即x时取等号),则|P F|P Q|,且取最小值x,此时点P的坐标为(,)思路如右图,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为T,则|P F|P Q|P T|P Q|s i n P Q T则要|P F|P Q|最小,即s i n P Q T最小,且P Q T为锐角,即等价于t a n P Q T最小,且t a n P Q T|P T|T Q|,因为|P T|T Q|xy,代入抛物线方程,|P T|T Q|xyyyyyyy,当且仅当y时取等号,此时点P的坐标为(,)思路和思路一样,将问题转化为求点P运动到何处时P Q T最小由于点Q为定点,点P为抛物线上的动点,必当直线P Q与抛物线相切时,P Q T最小,则设直线P Q:yk(x),通过联立yk(x)yx,得kx(k)xk,计算,可得k四、总结深度学习是一种主动的、基于问题的学习方式,学生在解题中重视解决生成性问题,在困惑中进行有一定广度和深度的延伸探究,在评价中优化思路如图所示,提升思维的三种反思性学习方式是解题教学中深度学习的有效实践这种“反思”是图主体(学生)对自身行为的自觉“检讨”,主体此时已不再集中于原先所从事的活动(实际操作或者思维活动),而是“停下来”进行一些新的、更高层面的思考;这种“反思”应该成为主体思维中十分重要的组成成分或基本特征参考文献张浩,吴秀娟深度学习的内涵及认知理论基础探析J中国电化教育,():李春兰,董乔生,张建国建构主义知识观视角下反思性学习 的 困 境 与 突 破 J教 学 与 管 理,():郑毓信以“深度教学”落实数学核心素养J小学数学教师,():马文杰高中生数学解题错误探析及其矫正研究J当代教育科学,():上海中学数学 年第期