一元二次方程解法及根与系数关系习题课.doc

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一元二次方程解法及根与系数关系习题课
(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A B
C D
变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
★1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
针对练习：
★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。
★★3、方程的一个根为（ ）
A B 1 C D
考点三、解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：
※※对于，等形式均适用直接开方法
例1、解方程： =0;

例2、解关于x的方程：

例3、若，则x的值为 。
类型二、因式分解法:
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：如， ，

例1、的根为（ ）
A B C D
例2、若，则4x+y的值为 。
变式1： 。
变式2：若，则x+y的值为 。
变式3：若，，则x+y的值为 。
例3、方程的解为（ ）A. B. C. D.
例5、已知,且,则的值为 。变式： 已知,则的值为 。
★1、下列说法中：①方程的二根为，，则 ② .
③
④
⑤方程可变形为
正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
★2、以与为根的一元二次方程是（）
A．B．C．D．
★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
5、方程：的解是 。
6、已知，且，，求的值。
7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为 。

类型三、配方法
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
1、试用配方法说明的值恒小于0。

2.已知x、y为实数，求代数式的最小值。

3.分解因式：

3、若，则t的最大值为 ，最小值为 。
4、如果,那么的值为 。
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式： ,
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸

例2、在实数范围内分解因式：
（1）； （2）. ⑶

考点四、根的判别式
根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )A. B. C. D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.

例5、为何值时，方程组
有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。

5、当取何值时，方程的根与均为有理数？

考点五、方程类问题中的“分类讨论”
例1、关于x的方程⑴有两个实数根，则m为 ,⑵只有一个根，则m为 。
例2、不解方程，判断关于x的方程根的情况。

考点六、根与系数的关系
⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
⑵主要内容：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D.
例2、解方程组：

例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例5、已知，，，求
例6、已知是方程的两个根，那么 .
针对练习1．已知，，求的值。

2、已知是方程的两实数根，求的值。

3.（2012湖北随州，16,4分）设，且，则=________。

已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足．

1、 已知方程x2+mx+4=0和x2－(m－2)x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。

已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。

一元二次方程解法及根与系数关系习题课
2013-7-25 15008620708（李老师） 姓名：
1.方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
2.关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
3、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。
4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ;
5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;
6．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
7．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ．
8．已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ．
9.已知，则 .
10.⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
11．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )
A． B． C． D．
12．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )
A． B． C． D．大小关系不能确定
13．若实数，且满足，则代数式的值为( )A． B． C． D．
14.用适当的方法解下列一元二次方程。
1、 2、

3、 4.

5、 6、

7、 8、

9、 10、

11、 12、=0

13. 14.

15、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

16.试用配方法说明的值恒大于0。

17．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

18、已知关于x的二次方程x2－2(a－2)x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a的值。

19.已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7， 求m和n的值。

20、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，
（1）求k的值；
（2）求x12+x22+8的值.

21、知关于x的一元二次方程.
（1）当m为何值时，这个方程有两个相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根x1、x2，满足，求m的值.

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