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最大公因式的初等变换求法
【摘要】 给出了求最大公因式的初等变换法,这比辗转相除法要来的简便,并在两个多项式的基础上做了推广,给出了求多个多项式的最大公因式的方法.
【关键词】 最大公因式 ;初等变换

引言
学习了高等代数,我们知道可以运用辗转相除求两个多项式的最大公因式,但是此法不够简洁.在阅读了郭文献教授发表的《最大公因式的初等变换》一文后,发现其求最大公因式的方法比较简洁，我们在其求两个多项式的最大公因式的基础上,推广并证明了此法对求K个多项式也适用.

一:对方法的重述并且补充分析了一般的求法过程.
设和不全为零,不妨设，应用带余除法，可以得到一串等式：

这里就是和的最大公因式，此为辗转相除法。用表示首项系数为1的最大公因式。
在这里我们看到，对于一般的两个多项式来说，这种求法步骤较多，篇幅较大，计算较繁，而下面的初等变换克服了这些缺点。
1 引理

引理1 数域P上所有次数不大于n的多项式连同零多项式构成的多项式空间P[x]与所有的n+1元有序数组构成的向量空间同构。
事实上，在P[x]与之间存在同构映射：
，可见，可用
表示
引理2
（1）
（2）
(3)
(4)
(5)设，
证明：（1）、（2），显然
（3）设,则，，又令是与的任一公因式，则，，于是，进而有，命题得证。
（4）证明同（3）
（5）设且是与的任一公因式，注意到，，于是，故。
推广此式可得
2 定理
用表示多项式与的待求最大公因式，则对A施行初等行变换。两个多项式的最大公因式不变；当时
证明：由引理2中（1）、（2）、（3），即得定理的第一部分，由引理2中的（4）、（5），即得定理的第二部分（注：由引理知A与B是相等关系）
对于一般的，若，
当时，
当时，通过初等变换，保持第一行不变，将第一行乘上加到第二行，得
，
即通过初等变换，都可得A化为的形式。
若，则保持第二行不变，将第二行乘上加到第一行，得
，
因此，通过初等变换，使得两个多项式都降了一个阶，而他们的最大公因式却不变。按照此法类推下去，将阶数到一定低阶时，便可以得到最大公因式。
若，则

同样可按照以上方法将多项式降阶，最终可得最大公因式。
例1:
设,,求
解:对矩阵,
进行初等变换

故.

二:推广到K个多项式
引理3
(1)
(其中,,是1,2,…k的任意排列)
(2)
(,,是任意常数)
(3)
(4)
(5)设
证明: (1), (2)显然.
(3)设,
则,
设是,,的任一公因式.则,,故.
从而
命题得证.
(4)证明同(3)
(5)设,是的任一公因式.
由于,故
于是,,
故.
而,,.
故.
推广此式可得, ,
(是正整数)
例2:
设,,,求
解:对

故

参考文献:
[1] 郭文献 最大公因式的初等变换求法 中图分类号O11.1 文章编号1671-5330(2005)05-0028-02
[2] 张禾瑞,郝炳新. 高等代数(第四版) 高等教育出版社