正规权混合范数空间的有界投影及对偶空间.pdf

第36卷第4期2023年8月Vol.36 No.4Aug.2023四川轻化工大学学报（自然科学版）Journal of Sichuan University of Science&Engineering(Natural Science Edition)收稿日期：2022-06-03基金项目：国家自然科学基金项目(11971125)通信作者：王晓峰(1974-),男,教授,博士,研究方向为泛函分析,(E-mail)文章编号：20967543（2023）04009308DOI:10.11863/j.suse.2023.04.12正规权混合范数空间的有界投影及对偶空间唐倩红，王晓峰（广州大学数学与信息科学学院，广州 510006）摘 要：令为正规权，对于单位圆盘D上由正规权诱导的加权混合范数空间Lp,q(0 p,q),记Ap,q=Lp,qH(D),其中H(D)为D上解析函数所成的空间。首先介绍了正规权的基本性质并对再生核函数做出了某些积分估计。其次利用前面得到的积分估计结果，得到了单位圆盘上混合范数正规权Bergman空间上投影算子P的有界性：当1 p,q 时，P是从Lp,qq 2到Ap,qq 2的有界算子；当1 p 时，P是从Lp,1 2到Ap,1 2的有界算子；当1 p,q 时，P是从Lp,q到Ap,q上的有界算子，其中P(f)(z)=Df()-Bz()()dA()。最后利用前面关于投影算子有界性的结果和推广的表示定理刻画了混合范数正规权Bergman空间的对偶空间。关键词：正规权混合范数空间；投影算子；对偶空间中图分类号：O177文献标识码：A引 言记D为复平面C中的单位开圆盘，H(D)为D上全体解析函数组成的空间。dA(z)=rdrd/是D上正 规 化 的 Lebesgue 面 积 测 度。若 函 数 在:D 0,)上可积，则称为权函数或简单称为权。对于任意z D，若权函数满足(z)=(|z|)，则称为径向权。对径向权，记 (z)=|z1(r)dr。令f为D上的可测函数，当0 p 时，f的积分均值为：Mp(r,f)=()()02|f(rei)pd/()21 p，其中0 r 1。当p=时，f的积分均值为：M(r,f)=sup02|f(rei)，0 r 1。给 定0 p ，0 q 和 权 函 数，定 义Lebesgue空间Lp,q是由D上满足条件fqLp,q=01Mqp(r,f)(r)dr 的全体 Lebesgue 可测函数f组成的空间。给定0 p ，空间Lp,是由D上满足条件fLp,=sup0r1Mp(r,f)(r)的全体Lebesgue可测函数f组成的空间。加权混合范数空间Ap,q为Lp,q中解析函数所成的空间，即Ap,q=Lp,qH(D)。2023年8月四川轻化工大学学报（自然科学版）若q=p且0 p 1使径向权满足条件 (r)C()1+r2，0 r 1，则记为 D。若存在K=K()1和C=C()1使得 (r)C()1-1-rK，0 r 1，则记为 D，且记DD为D。若存在一个常数C=C()0使得1C (r)(1-r)(r)C，0 r 1使得C-1(t)(r)C(t),其中0 r t r+s(1-r)1，也称是正规权函数，表 示 为 R。更 多 有 关 权 的 性 质，例 如RD，可以参看文献1-3。回顾一般的加权Bergman空间Ap=LpH(D)以及从L2到A2的Bergman投影P：P(f)(z)=Df()-Bz()()dA()，其中Bz是A2的再生核。更多有关投影算子的研究可以参阅文献4-6。混合范数空间最早是被Hardy等7提及，后来才被Hardy的学生Flett8-9明确定义和研究。1971年，Shields等10开始引入规范函数。1987年，Jevti11开始研究规范函数诱导的混合范数空间。Jevti11证明了单位球上当1 p ,1 q 时，由正规函数权诱导的混合范数空间上投影算子的有界性，并介绍了在此条件及积分配对f,g=Bf(z)-g(z)(1-|z2)-1dv(z)意义下，正规函数权诱导的混合范数空间的对偶空间是另一个正规函数权诱导的混合范数空间，且两个正规函数权的积要求等于(1-r2)，0 r 1，其中是一个正实数。Shi12在Jevti11的基础上研究了0 p 1,1 q 以及0 p 1，0 0使得 (t)/(1-t)b本质递增；2)D当且仅当存在一个常数a 0使得 (t)/(1-t)a本质递减。证明 由文献17的引理A和引理B可得。引理2 若0 p,q 且 R，对于所有0 r 0使得 (t)/(1-t)a本质递减以及存在b 0使得94第36卷第4期唐倩红，等：正规权混合范数空间的有界投影及对偶空间 (t)/(1-t)b本质递增。因此可得：r1 (t)1-tdt (r)(1-r)ar1(1-t)(a-1)dt (r),且r1 (t)1-tdt (r)(1-r)br1(1-t)(b-1)dt (r)，故有W(r)=r1 (t)1-tdt (r)=(1-r)W(r)。从而W R且(r)W(r)。观察权函数W，可得它是连续且严格正的，则对于每个 R，可以找到一个连续且局部光滑的正规权W使得它所诱导的空间和正规权所诱导的空间是一样的。通过引理2可知，在后面研究正规权诱导的混合范数空间时，可以假设正规权连续。引理3 设,R,0 p ,n 0，则(Bz)(n)pAp0|z(t)p(t)(1-t)p(n+1)dt,其中|z 1-。证明 由RD以及文献18可得。引理 418 若连续，则 R当且仅当存在-1 a b +，使得(r)(1-r)b，(r)(1-r)a 0，r0 r成立，其中r0(0,1)。若存在0 a b 1，使得C-1(t)(r)C(t)成立，其中0 r t r+s(1-r)1。显 然 有：()C-1(t)12 12(r)()C(t)12,其 中0 r t r+s(1-r)0，使得D|Bz()12()dA()-12(z),|z 1-(2)成立。证 明 当a 0且-1 a b +，则 据 引理35以及式(1)，有D|Bz()12()dA()0|z 12(t)(t)(1-t)dt 0|z12(t)(1-t)(t)(1-t)2dt=0|zdt12(t)(1-t)=0|zdt(t)(1-t)a)12(1-t)a2+1(1-|z)a212(z)0|zdt(1-t)a2+1-12(z)。实际上，当a=0且-1 a b +时，只需一些技巧就能得到相同的结果。选择s 0，-1 s a，则可得D|Bz()12()dA()0|zdt12(t)(1-t)0|zdt(t)(1-t)s)12(1-t)s2+1 0|zdt(t)(1-t)a1(1-t)s-a)12(1-t)s2+1。由(t)(1-t)a和1(1-t)s-a的单调性，可得D|Bz()12()dA()(1-|z)s2(z)120|zdt(1-t)s2+1-12(z)。引理 7 令0 p ，R，n 0，则有Mpp()r,(Bz)n0|z rdt p(t)(1-t)p(n+1)，其中r,|z 1-。证明 由 RD以及文献19可得。引理 8 令1 q 0使得D|B(z)(z)1 q(z)dA(z)1 1 q()，|z 1-。证明 记q为q的共轭指数，且1 q，q 0使得 (t)(1-t)a本质递减。因此据引理7，有D|B(z)(z)1 q(z)dA(z)01(r)1 q(r)()0|rdt (t)(1-t)dr=0|()t/|1(r)1 q(r)drdt (t)(1-t)0|()t1(r)1 q(r)(1-r)1 qdrdt (t)(1-t)0|()t11 q(r)(1-r)1 qdrdt (t)(1-t)0|()t11 q(r)(1-r)1 q(1-r)1 q(1-r)1 qdrdt (t)(1-t)0|()t1 1 q(r)1-rdrdt (t)(1-t)0|1 q(t)(t)(1-t)dt 0|1 1 q(t)(1-t)dt=0|1()(t)(1-t)a1 q(1-t)a/q+1dt 1 1 q()。2 投影算子的有界性本小节将证明本文的主要结果，即从Lp,qq 2到Ap,qq 2上、从Lp,1 2到Ap,1 2上以及从Lp,q到Ap,q上投影算子的有界性。对于每个径向权以及x 1，记x=01sx(s)ds。回顾A2的正交基 zn/2n,n 0 以及A2的再生核B(z,)=-Bz()=n=0(z)n2n，接下来开始证明本文的主要结果。定理1 令 R且1 p,q ，则P是从Lp,qq 2到Ap,qq 2有界算子。证明 记p,q分别为p,q的共轭指数。对于f Lp,qq 2，令z=rei以及=eit。利用Minkowski不等式可得Mp(r,Pf)=()02|Pf(rei)pd21p ()02()D|f()Bz()()dA()pd21p=()02()0102|Bz(eit)f(eit)()dtdpd21p 01()02()02|Bz(eit)f(eit)dtpd1p()d(3)利用Hlder不等式，得()02|Bz(eit)f(eit)dtp ()02|Bz(eit)|f(eit)pdt ()02|Bz(eit)dtpp。由再生核的对称性，得02|Bz(eit)dt=02|Bz(eit)d,z=rei(4)这些积分结果与r=|z和=|有关，则可简单将其记为K(r,)。利用Fubini定理得02()02|Bz(eit)f(eit)dtpd Kp p(r,)02()02|Bz(eit)|f(eit)pdt d=Kp p(r,)02|f(eit)p()02|Bz(eit)d dt=Kp(r,)02|f(eit)pdt。将上述结果代入式(3)，可得Mp(r,Pf)01K(r,)Mp(,f)()d=01()02|Bz(eit)dt Mp(,f)()d(5)考虑情况q=1，由式(4)、引理 6、Fubini定理以及再生核的对称性可得PfAp,11 2=01Mp(r,Pf)1 2(r)dr 96第36卷第4期唐倩红，等：正规权混合范数空间的有界投影及对偶空间 01 01()02|Bz(eit)d Mp(,f)()d 1 2(r)dr 01Mp(,f)()DB(z)12(z)dA(z)()d fAp,11 2。接下来，考虑情形1 q ，利用 Hlder 不等式以及引理6可得()D|Bz()Mp(,f)()dA()q ()D|Bz()12()dA()qq D|Bz()Mqp(,f)q+12()dA()1-q2(r)D|Bz()Mqp(,f)q+12()dA()(6)进而，利用式(5)和式(6)可得PfAp,qq 2=01Mqp(,Pf)q2(r)dr 01()D|Bz()Mp(,f)()dA()qq2(r)dr。最后，类似q=1的情形，利用式(4)和引理6，可得PfqAp,qq 201Mqp(,f)()D|B(z)12(z)dA(z)q+12()d fqAp,qq 2。定理 2 令 R且1 p ，则P是从Lp,1 2到Ap,1 2的有界算子。证明 令f Lp,1 2且=eit，对任意z=rei D，由引理6可得12(r)Mp(r,Pwf)(r)120102|Bz(eit)dtMp(,f)()d sup01Mp(,f)12()12(r)D|Bz()12()dA()sup01Mp(,f)12()。定理3 令 R且1 p,q ，则P是从Lp,q到Ap,q的有界算子。证明 对于f Lp,q，令=eit，z=rei。可得Mp(r,Pf)01K(r,)Mp(,f)()d=01()02|Bz(eit)dt Mp(,f)()d(7)若1 q ，由Hlder不等式和引理8，可得()D|Bz()Mp(,f)()dA()q ()D|Bz1 q()1 q()1/(qq)()()qdA()qq D|Bz1 q()Mp(,f)()1 q()1/(qq)()q dA()1 1 q(z)D|Bz()Mqp(,f)()1 q()dA()(8)进而，利用式(7)与式(8)，可得PfqAp,q=01Mqp(,Pf)(r)dr 01()D|Bz()Mp(,f)()dA()q(r)dr 01()D|Bz()Mqp(,f)()1 q()dA()(z)1 q(z)dr 01Mqp(,f)()D|B(z)(z)1 q(z)dA(z)()1 q()d 01Mqp(,f)1 1 q()()1 q()d=01Mqp(,f)()d=fqAp,q。3 对偶空间本节利用从Lp,qq 2到Ap,qq 2上投影算子的有界性来刻画Ap,qq 2的对偶空间，利用从Lp,q到Ap,q上投影算子的有界性来刻画Ap,q的对偶空间。定理 4 令 R，1 p,q ，则在积分配对f,g=Df(z)-g(z)(z)dA(z)意义下，有972023年8月四川轻化工大学学报（自然科学版）(Ap,qq 2)*Ap,qq 2。证明 首先，定义上述的积分配对为g(f)。显然每个g Ap,qq 2中的函数都可以通过积分配对来诱导Ap,qq 2上的有界线性泛函g，且满足ggAp,qq 2。另一方面，若是Ap,qq 2上的一个有界线性泛函，则可以通过Hahn-Banach延拓定理保范延拓成Lp,qq 2上的一个有界的线性泛函。据文献20中推广的表示定理，存在Lp,qq 2中的函数H，使得对每个Lp,qq 2中的函数f有(f)=Df(z)H(z)q 2(z)dA(z)，且HLp,qq 2=。考虑函数h(z)=H(z)q/2-1(z)，可知h Lp,qq 2且满足hLp,qq 2=HLp,qq 2=，以及有(f)=(f)=Df(z)-h(z)(z)dA(z),f Lp,qq 2。令g=Ph，则据定理1，g Ap,qq 2且gAp,qq 2=PhAp,qq 2hLp,qq 2=。据Bergman空间中类似的推断，可知多项式在A11 2中稠 密，则 对 于1 p,q ，再 生 核 公 式 会 在Ap,qq 2 A11 2中成立。换句话说，f=Pf，f Ap,qq 2。据Fubini定理，很容易证得P是自伴的，则(f)=Df(z)-h(z)(z)dA(z)=f,h=Pf,h=f,Ph=f,g=Df(z)-g(z)(z)dA(z)=g(f)。最后，证明g的唯一性。若Ap,qq 2中存在另一个函数l使得(f)=f,l，则由简单的计算可得-l(z)=Bz,l=(Bz)=Bz,g=-g(z),从而得到矛盾的结果。故对任意Ap,qq 2上的有界线性泛 函都 可 以 找 到Ap,qq 2中 唯 一 的 函 数g使 得=g，g (Ap,qq 2)，而且gAp,qq 2。定理 5 令 R，1 p,q ，则在配对积分f,g=Df(z)-g(z)(z)dA(z)意义下，有(Ap,q)*Ap,q。证 明 设g Ap,q，记g(f)=f,g，则|g(f)=|f,gD|f(z)|g(z)(z)dA(z)fAp,qgAp,q。故每个Ap,q中的函数g，都可以通过积分配对诱导一个Ap,q上的有界线性函数g。反之，若是Ap,q上的有界线性泛函，则据Hahn-Banach延拓定理，可以延拓成Lp,q上的一个有界线性泛函且满足=。因为Lp,q的对偶空间是Lp,q（参阅文献20），故存在Lp,q中的函数h使得对于所有Lp,q中的函数f都有(f)=f,h，且有=hLp,q。令g=Ph，则据定理3，g Ap,q且满足gAp,q=PhAp,qhLp,q=。因为再生性质在Ap,q A1中成立，所以据 Fubini定理，可得 (f)=(P(f)=f,P(h)=f,g=g(f)。最后，证明g的唯一性。若Ap,q上存在另一个函数l使得(f)=f,l，则通过简单的计算可得-l(z)=Bz,l=(Bz)=Bz,g=-g(z),从而得到矛盾的结果。故对任意Ap,q上的有界线性泛函，都可以找到Ap,q中唯一的函数g有=g，而且满足gAp,q。4 结束语本文通过对再生核进行估计，得到当1 p，q 时，P是从Lp,qq 2到Ap,qq 2的有界算子；当1 p 时，P是从Lp,1 2到Ap,1 2的有界算子；当1 p,q 时，98第36卷第4期唐倩红，等：正规权混合范数空间的有界投影及对偶空间P是从Lp,q到Ap,q上的有界算子。并刻画了当1 p，q 时，Ap,qq 2和Ap,q的对偶空间。但当指标为其他数值范围时，投影算子的有界性以及对偶空间问题尚未解决。参考文献：1 KORHONEN T,PELEZ J A,RTTY J.Radial two weight inequality for maximal Bergman projection induced by a regular 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Qianhong,WANG Xiaofeng(College of Mathematics and Information Science,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)Abstract:Let be a regular weight,for the weight mixed norm space induced by the regular weight on the unit disk D,which is denoted by Lp,q(0 p,q ),write Ap,q=Lp,qH(D),where H(D)denotes the space of all analytic functions in the unit disk.Firstly,the basic properties of normal weights are introduced and some integral estimates of reproducing kernel functions are given;secondly,by using the integral estimation results obtained,the boundedness of the projection operator on regular mixed norm spaces of the unit disk is obtained:when 1 p,q ,P is bounded from Lp,qq 2 onto Ap,qq 2;when 1 p,q ,P is bounded from Lp,1 2 onto Ap,1 2;when 1 p,q ,P is bounded from Lp,q onto Ap,q,where P(f)(z)=Df()-Bz()()dA().Finally,the dual spaces of Bergman space with mixed norm induced by regular weight is described by using the previous result on boundedness of projection operators and the generalized representation theorem.Key words:regular mixed norm spaces;projection operator;dual space100