2011年第7.8期问题解答.doc

61题 四边形内接于半径为1的圆，且为直径，，与交于点，，求四边形的面积。
解：如图所示，设，则
从而

四边形的面积

在中，

在中，

由相交弦定理可知

，，
即
又
，

62.在中，求证：
证明：不妨设
则（1）当时，
，
（2）当时，则
设，则
由琴生不等式可知

综合（1）（2）可知，原不等式在任意在中恒成立，且等号当且仅当为正三角形时取到。

63.设正实数满足，试求的最小值及相应的的值。
解：，且

设则

当且仅当，即时上式取“=”，从而
当，时，的最小值为。

64.已知且，求证
证明：
设，则

由幂平均不等式得

，即原不等式右边成立。

，原不等式左边成立。
原不等式成立。

65. 设正实数满足，且，求的整数部分。
解：由幂平均不等式得
，当且仅当时取“=”
又
若接近，时，
的整数部分为3或4.
由上述解题过程可知这一问题可推广：
设正实数满足，且，求的整数部分。
可得结论当时，的整数部分为3，
当时，的整数部分为3或4。