积化和差与和差化积公式(教师版).doc

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课

一、 基本公式复习

1、两角和与差公式及规律

2二倍角公式及规律

3、积化和差与和差化积公式

生动的口诀：（和差化积） 口诀
　　正加正，正在前，余加余，余并肩
　　正减正，余在前，余减余，负正弦
　　反之亦然

和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：
　 ①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos
　 ②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
　 ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
　 ④合一变形也是一种和差化积。
　 ⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
　 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
　　因为
　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，
　　将以上两式的左右两边分别相加，得
　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，
　　设 α+β=θ，α-β=φ
　　那么
　　α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2
　　把α，β的值代入，即得
　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

cos(α-β)-cos(α+β)
　　=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
　　=2sinαsinβ

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
　　=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
　　其他的3个式子也是相同的证明方法。

4、万能公式

证：

注意：
1、上述三个公式统称为万能公式。
2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁
3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。

二、 应注意的问题

1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.
2、倍角公式有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.
3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.
3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；

4、角度配凑方法 ，其中是任意角。

三、例题讲解

例1 已知α，β均为锐角， sinα=，求α+β的值。
解析：由已知条件有cosα=，且0＜α+β＜π。
又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

例2已知
（１） 求
（２） 若求的值．
解当时，

当时，

故当n为偶数时，

当n为奇数时，

例3已知
（１） 求的值；
（２） 当时，求的值．
解（１）
［方法１］
从而，
［方法２］设

（２）由已知可得

例4已知求的值.
解

例5已知求的值.
解 将两条件式分别平方，得

将上面两式相加，得

例6 的值等于 （ ）
A． B． C． D．
解

故选B.
例7 已知cos(α－β)= 都是锐角，求cos(α+β)的值。
解析：由已知条件有

因为0＜sin2α=，所以0＜2α＜，所以0＜α＜。 ①
又因为0＜β＜，所以＜-β＜0 。 ②由①、②得＜α-β＜。
又因为cos（α-β）=，所以。
=。
从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)

评析：本例通过0＜sin2α= ，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-β的范围缩小为，进而由cos(α-β)= ,将α-β的范围确定为，从而避免了增解。
例8 已知，且tanα,tnaβ是一元二次方程的两个根，求α+β的值。

解析：由已知条件得tanα+tanβ= ，tanαtanβ=4＞0，
所以tanα＜0，tanβ＜0。
又因为 ，
所以所以-π＜α+β＜0。
又因为tan(α+β)= =
所以α+β= 。
评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ= ，tanαtanβ=4，挖掘出了隐含条件tanα＜0,tanβ＜0，知，，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解。

例9 已知，求①；②．

解：①=；

②．

例10 已知，的值．
解：
，
又因为（）及，所以，即，
所以．

注：“已知”与 “未知”的联系是“ =”，从而目标是求出的值．
例11 已知且是第二象限的角，求．
解：∵是第二象限的角，
∴，即，
∴==．

注：“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”．

例12 已知．

解：∵∴
又
所以可知是第一象限的角，是第三象限的角．
∴
∴，
．
注：“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”．
例13 已知求（１）（２）．
解：解法一：
……①
……②
①＋②得：＝；
②－①得：，
即，
所以＝．
解法二：把已知和差化积得：
……③
……④
③２＋④２得：
即
∴．
③÷④得：
∴＝．
注：求利用方法一简单，求利用方法二简单．一般地，已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差．
【 课堂练习1】
1．cos105°的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．对于任何α、β∈（0，），sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是 （ ）
A．sin(α+β)＞sinα+sinβ B．sin(α+β)＜sinα+sinβ
C．sin(α+β)=sinα+sinβ D．要以α、β的具体值而定
3．已知π＜θ＜，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于 （ ）
A． B．－ C． D．±
4．已知tanα=，tanβ=，则cot(α+2β)= ．
5．已知tanx=，则cos2x= ．
【 课堂练习2】
求下列各式的值
1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ．
2．（cos15°+sin15°）= ．
3．化简1+2cos2θ－cos2θ= ．
4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．
5．－ = ．

【课后反馈1】
1．已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，则sinβ等于 （ ）
A．0 B．0或 C． D．0或－
2． 的值等于 （ ）
A．2+ B． C．2－ D．
3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．若α是锐角，且sin(α－)= ，则cosα的值是 ．
5．coscoscos = ．
6．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．

7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（，2π），求cos2α、cos2β的值．

8． 已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求．

【课后反馈2】
1．cos75°+cos15°的值等于 （ ）
A． B － C． － D．
2．a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，则 （ ）
A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c
3．化简= ．

4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)= ．

5． 在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+tantan的值为 ．

6． 化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．

7 化简sin50°(1+tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

参考答案：
【 课堂练习1】
1． C 2． B 3． B 4． 5．
【 课堂练习2】
1．－ 2． 3． 2 4． 5．tan2θ

【课后反馈1】
1． C 2． C 3． A 4． 5． 6．略
7． cos2α=－，cos2β=－1 8．
【课后反馈2】
1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 6． sin2（A＋B）．
7. 1 8 .略．

例14 已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值。
解：∵ ∴cos q ¹ 0 (否则 2 = - 5 )
∴ 解之得：tan q = 2
∴原式
【 课堂练习1】
1. ．已知sinx =，且x是锐角，求的值。

2. 下列函数何时取得最值？最值是多少？
①　

②　

③　

【课后反馈1】
1. 求函数在上的最小值。

参考答案：
【 课堂练习1】

1、
2、 、、
【课后反馈1】
1．