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《数轴》例题讲解

为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的有关模型，如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴模型．数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象．
数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来．
数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想．
利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在：
1．运用数轴直观地表示有理数；
2．运用数轴形象地解释相反数；
3．运用数轴准确地比较有理数的大小；
4．运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题．
例题讲解
【例1】(1)数轴上有、两点，如果点对应的数是，且、两点的距离为3，那么点对应的数是 ． (江苏省竞赛题)
(2)在数轴上，点、分别表示和，则线段的中点所表示的数是 ． (江苏省竞赛题)
（3）点A、B分别是数，在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___，点移动的距离是____． (“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 (1)确定点的位置；(2)在数轴上选择两个特殊点，探索它们的中点所表示的数与所选两点所表示的数的联系；（3）在平移的过程中，线段的长度不变，即．
【例2】 如图，在数轴上有六个点，且，则与点所表示的数最接近的整数是________．
思路点拨 利用数轴提供的信息，求出的长度．
【例3】比较与的大小．
思路点拨 因为表示的数有任意性，直接比较常会发生遗漏的现象，若把各个范围在数轴上表示出来，借助数轴讨论它们的大小，则形象直观，解题的关键是由无意义得出，据此3个数把数轴分为6个部分．
【例4】阅读下面材料并回答问题．
(1)阅读下面材料：
点、在数轴上分别表示实数a、b，、两点之间的距离表示为．
当、两点中有一点在原点时，不妨设点 在原点，如图1，
当、两点都不在原点时，
①如图2，点、都在原点的右边；
②如图3，点、都在原点的左边，；
③如图4，点、在原点的两边，；
综上，数轴上、两点之间的距离．

(2)回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示和－1的两点和之间的距离是 ,如果那么为________；
③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ．(南京市中考题)
思路点拨 阅读理解从数轴上看，的意义．
链接： 有效地从图形、图表获取信息是信息社会的基本要求．
从数轴上获取有关信息是解有理数问题的常用技巧，主要包括：
①数轴上诸点所表示的数的正负性；
②数轴上的点到原点的距离．
(1)字母表示数是代数的特点，但字母具有抽象性，所以在条件允许的范围内赋予字母以特殊值来计算、判断或探求解题思路，能化抽象为具体，这就是我们常说的“赋值法”，但这种方法不能作为解题的规范过程．
(2)纯粹的代数方法比较抽象，如能借助图形(利用数形结合的思想方法)，则可使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化，甚至简单化．
【例5】试求｜x-1｜十｜x－2｜+｜x－3｜+…｜x－1997｜的最小值． (天津市竞赛题)
思路点拨 由于x的任意性、无限性，因此，通过逐个求出代数式的值解题明显困难，不妨从绝对值的几何意义，利用数轴入手，借助【例4】的结论解题．
【例6】 (1)工作流水线上顺次排列5个工作台、、、、，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路程最短?
(2)如果工作台由5个改为6个，那么工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短?
(3)当流水线上有个工作台时，怎样放置工具箱最适宜?
思路点拨 把流水线看作数轴，工作台、工具箱看作数轴上的点，这样，就找到了解决本例的模型——数轴，将问题转化为【例4】的形式求解．
链接：设、、、…是数轴上依次排列的点表示的有理数．
①当为偶数时，若，则的值最小；
②当为奇数时，若，则的值最小．

基础训练
一、基础夯实：
1.在数轴上表示数a的点到原点的距离为,则a-3=________.
2.a、b、c在数轴上的位置如图所示，则、、中最大的是________.

（第2题） （第3题） （第4题）
3. (第12届“希望杯”邀请赛试题)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,若m=│a+b│-│b-1│-│a-c│-│1-c│,则1000m=__________.
4.如图,工作流程线上A、B、C、D处各有1名工人,且AB=BC=CD=1,现在工作流程线上安放一个工具箱,使4个人到工具箱的距离之和为最短,则工具箱的安放位置是__________.
5.有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简│a+b│-│c-b│的结果为( )
A.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D.-a-c

（第5题） （第6题） （第8题）
6. (第15届江苏省竞赛题)如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A、B、C、D对应的数分别是整数a,b,c,d,且d-2a=10,那么数轴的原点应是( ).
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
7.│x+1│+│x-1│的最小值是( ).
A.2 B.0 C.1 D.-1
8. (第18届江苏省竞赛题)数a、b、c、d所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示,那么a+c与b+d的大小关系是( ).
A.a+c<b+d B.a+c=b+d C.a+c>b+d D.不确定的
9. (北京市“迎春杯”竞赛题)已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,求所有满足条件的点B与原点O的距离的和.

10.已知两数a、b,如果a比b大,试判断│a│与│b│的大小.

二、能力拓展
11.有理数a、b满足a>0,b<0,│a│<│b│,用“〈”将a、b、-a、-b连接起来_________.
12.│x+1│+│x-2│+│x-3│的最小值是_________.
13.已知数轴上表示负有理数m的点是点M,那么在数轴上与点M相距│m│个单位的点中,与原点距离较远的点对应的数是________. (2001年山东省竞赛题)
14.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是_________.
(武汉市选拔赛题)
15.如图,A、B、C、D、E为数轴上的五个点,且AB=BC=CD=DE,则图中与P点表示的数比较接近的一个数是( ).

A.-1 B.1 C.3 D.5
16.设y=│x-1│+│x+1│,则下面四个结论中正确的是( ).
A.y没有最小值 B.只有一个x使y取最小值
C.有限个x(不止一个)使y取最小值； D.有无穷多个x使y取最小值
17.不相等的有理数a、b、c在数轴上对应点分别为A、B、C,若│a-b│+│b-c│=│a-c│,那么点B( ).
A.在A、C点右边； B.在A、C点左边； C.在A、C点之间； D.以上均有可能
18.试求│x-2│+│x-4│+…+│x-6│+│x-2000│的最小值.

19.电子跳蚤落在数轴上的某点K0,第一步从K0向左跳1个单位到K1,第二步由K1向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3向右跳4个单位到K4…,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是19.94,试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数.

三、综合创新
20.如图,在数轴上(未标出原点及单位长度)点A为线段BC的中点,已知点A、B、C对应的三个数a、b、c之积是负数，这三个数之和与其中一数相等，设p为a、b、c三数中两数的比值，求p的最大值和最小值。

21. (湖北省荆州市竞赛题)某城镇沿环形路上依次排列有五所小学:A1、A2、A3、A4、A5,它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台,为使各校的电脑数相同,允许一些小学向相邻小学调出电脑,问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?并求出电脑的最少总台数.

答案：
1.0或-6 2. 3.-2000 4.放B、C(含B、C)之间任一处 5.A 6.B 7.A 8.A
9.12 提示:点A表示的数为3或-3,满足条件的点B共有4个.
10.当点B在原点的右边时,0<b<a,则│a│>│b│;
当点A在原点的左边时,b<a<0,则│a│<│b│;
当点A、B分别在原点的右、左两侧时,b<0<a,这时无法比较│a│与│b│的大小关系;当点A正好在原点位置时,b<a=0,则│b│>│a│;
当点B正好在原点位置时,0=b<a,则│a│>│b│.
11.b<-a<a<-b. 12.4 13.2m 14.b≤x≤a 15.C 16.D 17.C
18.500000 提示:当1000≤x≤1002时,原式有最小值,这个最小值为:
(1002-2)+(1004-4)+…+(2000-1000)=500000.
19.-30.06 提示:设k0点表示的有理数为x,
则k1、k2…,k100点所表示的有理数分别为
x-1,x-1+2,x-1+2-3,…,x-1+2-3+4…-99+100,
由题意得:x-1+2-3+4-…-99+100=19.94,
解得x=-30.06.
20.由图知abc<0,知b<0<a<c或b<a<c<0,即原点在点B、A之间或在点C右边.
又由a、b、c之和与其中之一相等,
可知有两数的和为0,即这两数互为相反数,
故原点只能在点B、A之间且是线段AB的中点,
其中b=-a,c=3a,=3, =-3,分别为比值的最大值与最小值.
21.提示:如图,用A、B、C、D、E顺时针排列依次表示一至五所小学且顺次向邻校调给x1,x2,x3,x4,x5台电脑,依题意得
7+x1-x2=11+x2-x3=3+x3-x4=14+x4-x5=15+x5-x=10
得 x2=x1-3,x3=x1-2,x4=x1-9,x5=x1-5 本题要求
y=│x1│+│x2│+│x3│+│x4│+│x5│
=│x1│+│x1-3│+│x1-2│+│x1-9│+│x1-5│的最小值.
由绝对值几何意义知,当x1=3时,y有最小值12,
此时有x2=0,x3=1,x4=-6,x5=-2,
即 一小向二小调出3台,三小向四小调出1台,五小向四小调出6台,一小向五小调出2台,这样调动的电脑总台数最小数目为12台.

提高训练

1．在数轴上表示数的点到原点的距离为5，则=__________．
2．已知、为有理数，且>0，，，将四个数，，，按由小到大的顺序排列是________________________． (江苏省首届数学文化节基础闯关题)
3．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上的数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上的数字与数轴上的数5对应，则=______；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周圈后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是______（用含的代数式表示）． （江西省中考题）

4．在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）．
A．1998 B．1999 C．2000 D．2001 (重庆市竞赛题)
5．在数轴上和有理数、、对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1 （“希望杯”邀请赛试题）

6．在数轴上，若点N与点O距离是点N与30所对应点之间距离的4倍，则点N表示的数是_________． （河南省竞赛题）
7．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论：① ；②；③；④．其中，正确的结论的序号是（ ）
A．①、③ B．②、③ C．①、②、③ D．①、②、④ （镇江市中考题）