(三)竖直上抛及竖直下抛运动.doc

（二） 竖直上抛和竖直下抛运动
一、 知识点击：
1．竖直上抛运动和竖直下抛运动：
将一个物体以一定的初速度竖直向上或竖直向下抛去时物体所做的运动。
2．竖直上抛和竖直下抛运动的物体只受重力，都是做匀变速直线运动，具有竖直向下的大小为g的加速度。
3．竖直上抛运动可以看作是初速度为v0的匀速直线运动和自由落体运动的合运动。因为重力加速度g和初速度v0的方向相反，所以它是一种初速度不为零的匀减速直线运动。
竖直下抛运动可以也看成是初速度为v0的匀速直线运动和自由落体运动的合运动。因为重力加速度g和初速度v0的方向相同，所以它是一种初速度不为零的匀加速直线运动。
4．竖直上抛运动的处理方法：
（1）可分为两步进行计算：
上升过程作为一个初速不为零而末速为零的匀减速直线运动；
下降过程为自由落体运动。
上升时间t上=，最大高度H=
上升阶段和下降阶段具有对称性，即
t上=t下，vt=-v0，在同一高度v上=-v下
（2）将竖直上抛运动看成是初速度竖直向上，加速度为g的匀变速直线运动。
（3）运用运动的合成和分解，竖直上抛运动看作为竖直向上的匀速运动和自由落体运动的合运动。
二、 能力激活：
题型一：分阶段求竖直上抛运动：
示例1：一个气球以4m/s的速度从地面匀速竖直上升，气球下悬挂一个物体，气球上升到217m的高度时，悬挂物体的绳子断了。问从这时起，物体经过多少时间落到地面？（不计空气阻力）
方法一：运用分段运动求解
[分析] 悬挂物体的绳子断掉之后，物体做竖直上抛运动。可以分上升和下降两个运动过程来处理。
[解析]分为上升和下降两个运动过程。
物体上升的时间和高度分别为
t1=v0/g=4/10=0.4s
h1=v2/(2g)=42/(2×10)＝0.8m
物体离地面的最大高度为 H＝217＋0.8＝217.8m
由最高点下落到地面的时间为
故物体落到地面的时间 t＝t1＋t2＝0.4+6.6=7s 。
方法二：运用整体过程求解
[分析]将竖直上抛运动看成是初速度竖直向上，加速度为g的匀变速直线运动。
[解析]物体脱离气球后做匀变速运动，以向上为正方向，列出方程：

-217=4t-5t2
解得 t=7s ， t=－6.2s（舍去）
因此，物体落到地面的时间为7s
题型二：运用对称性求解：
示例2：A、B两球同时从地面起作竖直上抛运动，A上升的最大高度比B上升的最大高度高35m，A返回地面比B 返回地面迟2s，则A球抛出的初速度为 m/s，能上升的最大高度为 m；B球抛出的初速度为 m/s，能上升的最大高度为 m。
[分析]竖直上抛运动上升与下落两个过程有对称性，即时间相同，落地时速度与抛出时大小相等，方向相反。因此可以利用对称性来解题。
[解析]设A运动的最大高度为h，下落时间为t，则B运动的最大高度为h-35，下落时间为t-1。
所以可以列方程：
h=gt2/2
h-35=g(t-1)2/2
解得 A落地速度为 vA＝gt＝10×4＝40m/s ，抛出速度为40m/s ；
B落地速度为 vB＝g（t－1）＝10×（4－1）＝30m/s 。
题型三：运用图像求解：
示例3：由地面以初速度2v0竖直上抛一物体A，然后又以初速度为v0竖直上抛另一物体B，要使两物体能在空中相遇，求两物体抛出的时间间隔要满足的条件。
[分析] 由于两物体抛出的初始时刻不相同，初速度也不同，用列式的方法来解未知条件多，求解过程复杂，而根据位移――时间图像，就能非常直观地得到结论。
[解析]作出两物体的位移――时间图像。令其中A物体的图像不动，B物体的图像沿x轴向右平移。要使两物体在空中相遇，只要两图像在x轴上方有交点即可。显然只有当2 v0/g<Δt<4 v0/g时，两物体能在空中相遇。

题型四：运用相对运动：
示例4：天花板上吊一根长为1m的直尺，当它在开始自由下落的同时，地面上有一只小球竖直上抛，0.5s后小球和尺的下端在同一高度处，小球经过全尺的时间为0.1s。求：
（1）小球上抛的初速度；
（2）尺的上端悬挂点离地的高度。
[分析]两个物体，一个在做向下的匀加速直线运动，一个在做向上的匀减速直线运动，虽然运动性质不一样，但是它们具有相同的加速度。小球作竖直上抛运动，可看作为竖直向上的大小为v0的匀速直线运动和自由落体运动的合运动。以小球为参照物，直尺相对小球做向下的匀速直线运动。
[解析]（1）由“小球经过全尺的时间为0.1s”可得，以小球为参照物，则直尺向下做匀速直线运动，由s=v0t得
v0=
∴ v0=10m/s
（2）由“0.5s后，小球和尺的下端在同一高度处”可知，相对静止的小球，直尺经过0.5s与小球相遇，设此时直尺下落高度为h，有：
h=v0t=10×0.5＝5m
∴尺的上端悬挂点离地的高度
H＝h＋l尺＝5m+1m=6m
三、 小试身手：
1．由地面竖直向上抛出一物体，初速度为30m/s，物体通过离地面25m高处时的速度大小为 m/s，这时物体已经运动了 s20 ，1s或5s
。
2．人站在二楼的阳台上，同时以20m/s的速度抛出两个小球，其中一个竖直下抛，另一个竖直上抛，它们落地的时间差为⊿t；如果人站在三楼阳台上，以同样的方式抛出两个小球，它们落地的时间差为⊿t′，则⊿t′和⊿t相比较，有B
（ ）
A． ⊿t′<⊿t； B． ⊿t′＝⊿t；
C． ⊿t′>⊿t； D．无法判断。
3．从地面竖直上抛一个物体M，同时在某一高度H处另一个物体m开始作自由落体运动。两物体在空中达到同一高度时，速率都是v，则下列说法中正确的是（ BCD
）
A． 物体M和物体m由抛出到落地经历的时间相同；
B． 当两物体达到同一高度时，物体m已下落了H/4；
C． 物体M能上升的最大高度和物体m开始下落的高度相同；
D．物体M上抛时初速度的大小和物体m落地时速度大小都是2v。
4．从地面上竖直上抛一个物体，抛出后t1秒末和t2秒末它经过同一位置P，不考虑空气阻力，则（ C
）
①当抛出的初速度一定时，t1与t2之和跟位置P的高度无关；
②当抛出的初速度一定时，t1与t2之积跟位置P的高度无关；
③当位置P的高度一定时，t1与t2之比跟抛出的初速度大小无关；
④当位置P的高度一定时，t1与t2之积跟抛出的初速度大小无关。
A．①③； B．②③； C．①④； D．②④。
5．在如下图所示的图线中，均以竖直向上为正方向，不计空气阻力。则能正确表示做自由落体的物体落地后又以落地时的速率弹起到达最高点的图象和竖直上抛的物体到达最高点又落回原地的速度图象分别为( D
)
v
t
0
甲
v
t
0
乙
v
t
0
丙
v
t
0
丁

A．丁和甲； B．丙和乙； C．丙和甲； D．丁和乙。
6．从20m高的楼房的阳台上以20m/s的初速度竖直向上抛出一个小球，不计空气阻力，小球运动到离抛出点15m处所经历的时间为（ ACD
）
A．1s； B．2s； C．3s； D．(2+)s。
7．甲同学从离地面45m高的楼上让一小球自由下落，同时乙同学以15m/s的初速度在其正下方的地面上竖直向上抛出一小球，则两小球多少时间后相遇？相遇处离地面多高3s，0
？
8．从同一高度同时以20m/s的速度抛出两个小球，其中一个竖直下抛，另一个竖直上抛，它们落地的时间差是多少4s
？
9．在一架电梯内用绳子将一只小球悬挂在顶板上，小球离底板的高度为2.5m，电梯从静止开始，以a=10m/s2的加速度竖直向上运动，1s时绳子突然断掉，问：小球落到底板上所需的时间是多少？在这段时间内小球的位移和通过的路程各为多少0.5s, 3.75m
？
10．球A以初速度v0竖直上抛，ts后球以相同的初速度v0竖直上抛，求两球相遇的时间以及相遇处的高度v0/g+t/2 , v02/(2g)-gt2/8
。
四、生活中的物理：
杂耍抛球
杂耍演员用一手抛三个球，不断抛接交换，使3个球在空中运转循环起来，许多杂技演员，3个球抛得出神入化，变化多端，赢得观众的阵阵掌声。但是手对球的接与抛，则必须既兼顾每球的运动情况，更要对全局进行组织协调，才能有条不紊。
假设相邻两球出手的时间间隔Dt相等，每次手中至多有一个球。已知各球上抛高度为1.25m，g=10m/s2，求：
（1） 每个球在手中停留时间的范围：
（2） 相邻两球出手的时间间隔Dt＝？
分析：由竖直上抛高h＝1.25m，可求 v0=5m/s
每个球上升和下降时间t上＝t下＝v0/g＝5/10s＝0.5s，
故每个球（从离手到回到手）一个循环的时间T＝2t上＝2×0.5s＝1s。这1s的时间有三个球在手中进出着。
（a）倘若球在手中滞留时间最短，可以短到零（仿佛在抛接三个“烫山芋”一般）那么相邻两球出手的时间间隔就是Dt＝T/3＝1/3s。
（b）倘若球在手中滞留的时间最长，那就是等后一个球回到手中时才把手中的球抛出去，这一瞬间可视为手上有两个球，空中仅有一个球（在最高点），这样，相邻两球出手的时间间隔是：
Dt＝T/2＝1/2s=0.5s
则球在手中滞留的时间也等于这个时间间隔（0.5s）。
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