三角函数5.docx

§4.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点.
如下表所示.
x

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)作函数y＝sin(x－)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)这五个点. (　　)
(2)将y＝3sin 2x的图象向左平移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin(2x＋). (　　)
(3)y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向右移个单位得到的. (　　)
(4)y＝sin(－2x)的递减区间是(－－kπ，－－kπ)，k∈Z. (　　)
(5)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0. (　　)
(6)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. (　　)
2.把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得函数的解析式为________.

3.(2013·四川改编)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所
示，则ω，φ的值分别是________，________.

4.设函数f(x)＝cos ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________.

5.已知简谐运动f(x)＝2sin (|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为__________.

题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1　设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.

　已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

例2　(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，则ω＝________，φ＝________.
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所
示，则该函数的解析式为____________.

　如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段.
(1)求其解析式；
(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，
求f(x)的对称轴方程.

题型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的应用
例3　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如下图所示.

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－6，－]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值.

　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域.

三角函数图象与性质的综合问题

典例：(14分)已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π).
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.

解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：
第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式.
第二步：构造f(x)＝(sin x·＋cos x·).
第三步：和角公式逆用f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角).
第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质.
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
温馨提醒　(1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)，或asin α＋bcos α＝cos(α－φ)(其中tan φ＝)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.
(2)求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解.

方法与技巧
1.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.
2.由图象确定函数解析式
由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.
3.对称问题
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).
失误与防范
1.由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，则平移时要把x前面的系数提出来.
2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.

A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
一、填空题
1.为得到函数y＝cos(2x＋)的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ(0≤φ<π)个单位，则φ＝________.

2.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，且|φ|<)的部分图象如图所示，则函数
f(x)的单调递增区间是________.

3.将函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ<π)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F′，若F′的一个对称中心为，则φ＝________.

4.设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________.

5.已知函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.

6.已知f(x)＝sin (ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则
ω＝______.

7.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，
△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f()的值为_____.

8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.

二、解答题
9.(2013·天津)已知函数f(x)＝－sin ＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

10.已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx(ω>0)的周期为.
(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间；
(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对的角为x，求此时函数f(x)的值域.