基本不等式大题(教师版).doc

基本不等式大题
1.某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为万元时,销售量万件满足(其中,为正常数). 现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品万件还需投入成本万元(不含促销费用),产品的销售价格定为万元/万件.
⑴ 将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;
⑵ 促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大.

【答案】解:(1)由题意知,该产品售价为万元,
,
代入化简得 ,()
(2) 当且仅当时,上式取等号 当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; 当时,,故在上单调递增,所以在x=a时,函数有最大值.促销费用投入a万元时,厂家的利润最大
综上述,当时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大;
当时,促销费用投入a万元时,厂家的利润最大

2.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为(米),外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)为(米).
⑴求关于的函数关系式,并指出其定义域;
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米,则其腰长应在什么范围内?
⑶当防洪堤的腰长为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.
【答案】解:⑴,其中,,
∴ ,得, 由,得
∴;
⑵得∵ ∴腰长的范围是
⑶,当并且仅当,即时等号成立.
∴外周长的最小值为米,此时腰长为米

3.如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库,设AB = y km,并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB = AC + 1,且∠ABC = 60o.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km,两条道路造价为3万元/km,问:x取何值时,该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低?

【答案】解:(1)∵AB = y,AB = AC + 1,∴AC = y - 1
在直角三角形BCF中,∵CF = x,ÐABC = 60°,∴ÐCBF = 30°,BC = 2x.
由于2x + y - 1 > y,得.
在△ABC中,∵,∴.
则.由y > 0,及,得x > 1
即y关于x的函数解析式为(x > 1).
(2).
令x - 1 = t,则,
在,即,时,总造价M最低.
答:时,该公司建中转站围墙和道路总造价M最低

4.如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广
场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),.道路的宽度均为2米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.