《2.3.2-抛物线的参数方程》导学案2.doc

《2.3.2 抛物线的参数方程》导学案2
学习目标
1.掌握极坐标系中抛物线曲线的方程．
2.会求简单的抛物线曲线的极坐标方程．
知识梳理
圆锥曲线的统一极坐标方程
ρ＝， (***)
其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距．
当e＞1时，方程ρ＝表示双曲线，其中ρ∈R.

思考探究
1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？
【提示】　应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，cos θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为ρ＝，则e＝，表示椭圆．
2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？
【提示】　如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．

学习过程
例题精解
例题1　已知抛物线y2＝4x的焦点为F.
(1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；
(2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若AB＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l的倾斜角．
【自主解答】　(1)极坐标方程为ρ＝.
(2)设A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)．
AB＝ρ1＋ρ2＝＋
＝＝16，即sin2θ＝得sin θ＝±.
故l的倾斜角为或π.

例题2 平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线l：x＝－2.求与定点F的距离和定直线l的距离的比等于常数的点的轨迹的极坐标方程．
【解】　过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系．
由题意，设所求极坐标方程为ρ＝，
∵定点F(2,0)，定直线l：x＝－2，
∴p为F点到直线l的距离，为2－(－2)＝4.
又常数＝e，
∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝＝，即ρ＝.

课堂作业
1．抛物线ρ＝(ρ＞0)的准线方程为______．
【答案】　ρcos θ＝－4
2．如图4－2－4，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MN⊥AB，并交对称轴于N.
求证：MN2＝AF·BF.

【证明】　取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝.
设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，则
AF·BF＝·＝.
不妨设0＜θ＜，
则MF＝(ρ1－ρ2)
＝(－)＝.
所以MN＝MF·tan θ
＝tan θ＝.
所以MN2＝AF·BF.

课后检测
1．如图4－2－5，已知圆F：x2＋y2－4x＝0，抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F，过圆心且倾斜角为θ的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点．
(1)当直线的斜率为2时，求AB＋CD；
(2)当θ为何值时，AB＋CD有最小值？并求这个最小值．

【解】　圆F：x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.
以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系．则圆F的坐标方程为ρ＝2，抛物线G的极坐标方程为ρ＝.
设A(ρ1，θ)、D(ρ2，θ＋π)，所以AB＝AF－2，CD＝FD－2，即AB＋CD＝AF＋FD－4＝ρ1＋ρ2－4＝＋－4＝＋－4＝－4＝－4.
(1)由题意，得tan θ＝2，所以sin2θ＝.
所以AB＋CD＝－4＝6.
(2)AB＋CD＝－4，
当sin2θ＝1，
即θ＝时△ABF2的面积取到最小值4.
2．已知抛物线ρ＝，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求△FAB的面积的最小值．
【解】　设A(ρ1，θ)、B，则
ρ1＝，ρ2＝＝.
△FAB的面积为
S＝ρ1ρ2＝··
＝
＝.
设t＝sin θ－cos θ，则sin θcos θ＝.
所以1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ＝1＋t－＝(t＋1)2.
又t＝sin θ－cos θ＝sin∈[－，]，
所以当t＝，即θ＝时，△FAB的面积S有最小值.