《1.3-柱坐标系和球坐标系》导学案.doc

《1.3 柱坐标系和球坐标系》导学案
课程目标 引航
1．了解在柱坐标系，球坐标系中刻画空间点的位置的方法．
2．掌握点的坐标系之间的互化，并能解决简单的实际问题．
基础知识 巩固
1．柱坐标系
在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐标系(如图)．

设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫作点M的______，这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.
特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的______；
θ＝常数，表示的是过z轴的______；
z＝常数，表示的是与xOy平面平行的____．
显然，点M的直角坐标与柱坐标的关系为

【做一做1－1】点A的柱坐标是，则它的直角坐标是__________．
【做一做1－2】点B的直角坐标为(1，，4)，则它的柱坐标是__________．
2．球坐标系
设M(x，y，z)为空间一点，点M可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O到点M间的距离，φ为有向线段与z轴正方向所夹的角，θ为从z轴正半轴看，x轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段的角，这里P为点M在xOy平面上的投影(如图)．这样的三个数r，φ，θ构成的有序数组(r，φ，θ)叫作点M的______，这里r，φ，θ的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π，

特别地，r＝常数，表示的是____________；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z轴的半平面．
点M的直角坐标与球坐标的关系为

【做一做2－1】设点M的球坐标为，则它的直角坐标是__________．
【做一做2－2】将点M(1，－1，)化成球坐标为__________．
重点难点 突破
1．在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？
剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．
坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．
2．空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？
剖析：在直角坐标系中，我们需要三个长度x，y，z；而在柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度，它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要r，θ，z.
空间直角坐标：设点M为空间一已知点．我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P，Q，R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组(x，y，z)．这个组数(x，y，z)就叫做点M的坐标，并依次称x、y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．(如图所示)

坐标为(x，y，z)的点M通常记为M(x，y，z)．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x， y，z)之间的一一对应关系．
如果点M在yOz平面上，则x＝0；同样，zOx平面上的点，y＝0；xOy平面上的点，z＝0.如果点M在x轴上，则y＝z＝0；如果点M在y轴上，则x＝z＝0；如果点M在z轴上，则x＝y＝0.如果M是原点，则x＝y＝z＝0等．
这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．
答案：
1．柱坐标　圆柱面　半平面　平面　rcos θ　rsin θ
【做一做1－1】(，1，7)　x＝rcos θ＝2·cos＝，
y＝rsin θ＝2sin＝1，z＝7，
∴点A的直角坐标为(，1，7)．
【做一做1－2】　x＝1＝rcos θ，y＝＝rsin θ，
∴tan θ＝.∵0≤θ＜2π，x＞0，∴θ＝，r＝2，z＝4，
∴点B的柱坐标为.
2．球坐标　以原点为球心的球面　rsin φcos θ　rsin φsin θ　rcos φ
【做一做2－1】(－1，1，－)　由公式得

∴点M的直角坐标为(－1，1，－)．
【做一做2－2】　设点M的球坐标为(γ，φ，θ)，
则r＝＝2，tan φ＝＝＝，由0≤φ≤π，知φ＝，
又tan θ＝＝＝－1，0≤θ＜2π，x＞0，
∴θ＝.∴M(1，－1，)的球坐标为.
典型例题 领悟
题型一 柱坐标与直角坐标的互化
【例1】将点M的直角坐标化为柱坐标，将点P的柱坐标化为直角坐标．
(1)M(－1，，2)；(2)P.
分析：利用相关公式代入进行转化求值．
反思：已知直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(r，θ，z)，代入变换公式求r，也可以利用r2＝x2＋y2求r，利用tan θ＝求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值；已知柱坐标求直角坐标时，将r，θ，z的值代入变换公式即可．
题型二 球坐标与直角坐标的互化
【例2】将点M的直角坐标化为球坐标，点P的球坐标化为直角坐标．(1)M(1， ，2)；(2)P.
分析：利用相关公式代入进行转化求值．
反思：由点M的直角坐标化为球坐标时，可以先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式求出r，φ，θ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cOsφ＝.由直角坐标求球坐标，在确定θ和φ的取值时，要特别注意θ和φ的取值范围以及点M的位置，由球坐标化为直角坐标时，可直接代入变换公式，计算x，y，z的值即可．
题型三 柱坐标、球坐标的实际应用
【例3】一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来．
反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．
题型四 易错题型
【例4】将直角坐标系中的点M(－3，，3)转化成柱坐标．
错解：设点M的柱坐标为(r，θ，z)，
则由得
∴tan θ＝－.
∵0≤θ＜2π，∴θ＝π或θ＝π.
当θ＝π时，r＝2；当θ＝π时，r＝－2.
∴M点的柱坐标为或.
错因分析：在求解θ时，没有注意还有一个条件即x＝－3＜0，∴θ＝π.
另r∈[0，＋∞)，故r＝－2＜0错误．
答案：
【例1】解：(1)设M点的柱坐标为(r，θ，z)，
则有⇒⇒tan θ＝－.
又∵0≤θ＜2π，x＜0，∴θ＝，r＝2.
∴M点的柱坐标为.
(2)设P点的直角坐标为(x，y，z)，
则有
∴点P的直角坐标为(，，1)．
【例2】解：(1)设M点的球坐标为(r，φ，θ)，
则有⇒
∴tan θ＝.∵0≤θ＜2π，x＞0，
∴θ＝，r＝＝＝2.
∴2＝2cos φ.∴cos φ＝.
∵0≤φ≤π，∴φ＝.
∴M点的球坐标为.
(2)设P点的直角坐标为(x，y，z)，
则有
∴P点的直角坐标为.
【例3】解：以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m，极轴Ox按逆时针方向旋转×＝，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度为2.8 m，因此点A的柱坐标为.
【例4】正解：设点M的柱坐标为(r，θ，z)，
则由得
∵0≤θ＜2π且x＜0，∴θ＝π，r＝2.
∴M点的柱坐标为.
随堂练习 巩固
1设点M的直角坐标为 (1，，9)，则它的柱坐标是(　　)．
A． B．
C． D．
2在球坐标系中，M与N两点间的距离是__________．
3设点A的柱坐标为，则它的球坐标为__________．
4用两个平行平面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们分别为A、B，求出这两个截面间的距离．
答案：
1．D　∵r＝＝2，θ＝，z＝9，
∴点M的柱坐标为.
2．4　设点M的直角坐标为(x，y，z)，则

∴M点的直角坐标为(，，2)，
同理，N点的直角坐标为(－，，2)．
∴|MN|＝
＝4.
3．　设A的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝rcos θ＝cos＝1，
y＝rsin θ＝cos＝1，z＝，
∴点A的直角坐标为(1，1，)．
设点A的球坐标为(r，φ，θ)．
则有⇒
∴tan θ＝1.又∵0≤θ＜2π，x＞0，
∴θ＝，r＝＝＝2.
∴cos φ＝＝.
又∵0≤φ≤π，∴φ＝.
∴点A的球坐标为.
4．解：如图，由题意可知，O1O2即为两个截面间的距离．

∵|OA|＝|OB|＝8，∠AOO1＝，∠BOO1＝，
∴在△AOO1中，|OO1|＝|OA|cos＝4.
在△BOO2中，|OO2|＝|OB|cos＝4.
则|O1O2|＝|OO1|＋|OO2|＝4＋4＝8，即两个截面间的距离为8.