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第52讲 空间距离及其计算、折叠问题
1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点A到直线A1C的距离为( )
A.a B.a
C.a D.a
2.(2012·大纲卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( )
A．2 B.
C. D．1
3.将一内角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线BD折成90°的二面角后，A、C两点间的距离为( )
A.a B.a
C. D.a
4.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量n＝(2，－2，1)，已知P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于( )
A．4 B．2
C．3 D．1
5.(2012·辽宁卷)已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为______________．
6.如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有____________．(只需填上正确命题的序号)
①动点A′在平面ABC上的射影落在线段AF上；
②三棱锥A′－FED的体积有最大值；
③恒有平面A′GF⊥平面BCED；
④异面直线A′E与BD不可能互相垂直；
⑤异面直线FE与A′D所成角的取值范围是(0，]．
7.如图，正方体的棱长为1，C、D、M分别为三条棱的中点，A、B是顶点，求点M到截面ABCD的距离．
8.已知A(－1，0)，B(2，1)，C(1，－1)，若坐标平面沿x轴折成直二面角，则折后∠BAC的余弦值为________．
9.二面角α－a－β的平面角为120°，在平面α内，AB⊥a于B，AB＝2；在平面β内，CD⊥a于D，CD＝3，BD＝1，M是棱a上的一个动点，则AM＋CM的最小值为________．
10.如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形(如图①)．将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图②)．
(1)证明：AC⊥BO1；
(2)求二面角O—AC—O1的正弦值．
第52讲
1．C 2.D 3.D 4.B 5. 6.①②③④
7．解析：设点M到截面ABCD的距离为h.
连接AC、AM，作CF⊥AB，垂足为F，连接CM.
VC—ABM＝S△ABM·CM
＝××1＝.
又VM—ABC＝··AB·CF·h
＝××××h＝，
故由VC—ABM＝VM—ABC，得＝，
所以h＝.
8. 解析：作CM⊥x轴于M，折后可知CM⊥BM.
因为AC＝，BM＝，所BC＝.
又因为AB＝，
所以cos ∠BAC＝＝.
9. 解析：将二面角α－a－β展成平面，将AM＋CM转化为平面上的距离，则AM＋CM的最小值为AC，易求得AC＝.
10．解析：方法1：(1)证明：由题设知，OA⊥OO1，OB⊥OO1，
所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.
从而AO⊥平面OBCO1.
OC是AC在面OBCO1内的射影．
因为tan ∠OO1B＝＝，tan ∠O1OC＝＝，
所以∠OO1B＝60°，∠O1OC＝30°，
从而OC⊥BO1，由线面垂直得AC⊥BO1.
(2)由(1)知，AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.
设OC∩O1B＝E，过点E作EF⊥AC于F，连接O1F，
则EF是O1F在平面AOC内的射影．
由线面垂直得AC⊥O1F，
所以∠O1FE是二面角O－AC－O1的平面角．
由已知，OA＝3，OO1＝，O1C＝1，
所以O1A＝＝2，AC＝＝，
从而O1F＝＝.
又O1E＝OO1·sin 30°＝，所以sin ∠O1FE＝＝.
方法2：(1)证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.
故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如右图．则相关各点的坐标是A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，1，)，O1(0， 0，)．
从而＝(－3，1, )，＝(0，－3, )，
故·＝－3＋×＝0，所以AC⊥BO1.
(2)因为·＝－3＋×＝0，所以BO1⊥OC.
由(1)知AC⊥BO1，AC∩OC＝C，所以BO1⊥平面OAC，
所以是平面OAC的一个法向量．
设n＝(x，y，z)是平面O1AC的一个法向量，
由，得，
取z＝，得n＝(1，0，)．
设二面角O—AC—O1的大小为θ，由n、的方向可知θ＝〈n，〉，
所以cos θ＝cos 〈n，〉＝＝＝，
则sin θ＝.
即二面角O—AC—O1的正弦值为.
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