中考题型例解：求二次函数的解析式及相关问题.doc

中考题型例解：求二次函数的解析式及相关问题
教学目标：
1、巩固求解析式的方法，能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式。
2、体会数形结合思想，利用函数的性质解决实际问题。
3、完善解题步骤，把握得分点。
教学重、难点：
巩固求解析式的方法、灵活的根据条件恰当地选取解析式以及培养解决实际问题的能力。
过程：
一、引入。
二、例题解析
例1、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；
（2）求支柱的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．（共10分）
y
x
O
B
A
C
图2
20m
10m
E
F
图1
6m

解：（1）根据题目条件，的坐标分别是． 1分
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 2分
将的坐标代入y=ax2+bx+c，得 100a-10b+c=0
100a+10b+c=0
y
x
O
B
A
C
G
N
D
H
C=6 3分
解得a=-,b=0,c=6． 4分
所以抛物线的表达式是． 5分
（2）可设，于是
6分
从而支柱EF的长度是米． 7分
（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，
则点坐标是． 8分
过点作垂直交抛物线于，则． 9分
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 10分

例2、如图4，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．
B
A
y
x
P(a，0)
N(a+2，0)

（题图）
B(4-1)
O
2米
（图4）
1米
2.5米
0.5米
分析：如果把左边的树子看成纵轴，地平线看成横轴，则
A(0,2.5) ,B(2,2.5),C(0.5,1)
C
可设函数解析式为y=ax2+bx+c,把A、B、C三点分别代入这个
解析式可得一个方程组 c=2.5
4a+2b+c=2.5
0.25a+0.5b+c=1
解之得：a=2,b=-4,c=2.5
所以y= 2x2-4x+2.5
当x=1时，y=2-4+2.5=0.5
也可建立另外的直角坐标系，答案相同。

三、总结
解此类型的题，要数型结合；用待定系数法，求出函数关系式；再利用函数的性质解决一些实际问题。注意完善解题的步骤，把握好此类型的题的得分点。

四、巩固练习

1、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)（图3）刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;

解:(1) 设s与t之间的函数关系式为s=at2+bt+c(a ≠0)
由题意可得 解得 （图3）
∴s=t2-2t.
(2)把s=30代入s=t2-2t, 得30=t2-2t.
解得t1=10,t2=-6(舍).
答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
2、在平面直角坐标系中，ΔAOB的位置如图5所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（－3,1）。
（1）求点B的坐标。
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3） 抛物线的对称轴上有一点M，且点M的纵坐标与点B
的纵坐标相等，连结AM，BM，求ΔAMB的面积。
解：（ 1）过点A作AC⊥X轴于点C，
过点B作BD⊥ X轴于点D，
∵  ∠AOB＝90°，
∴ ∠AOC＝ ∠OBD
∵ ∠ACO＝ ∠ODB＝ 900， AO＝BO
∴ΔACO≌ΔODB
∴OD=CA=1，BD=CO=3 图5
∴点B的坐标为（1，3）。
（2）设函数解析式为
y＝ax2＋bx(a≠0)
可得 9a-3b=1
a+b=3
解得：a= ， b=

此解析式为y＝ x2＋ x

（3）解得对称轴x= -
∴ M点坐标为（ — ，3）
则BM=∣ 1 -（ - ）∣ =
MB边上的高=∣3-1∣=2
ΔABM的面积=2×÷ 2=

4