综合训练八答案.doc

数 学 奥 林 匹 克 模 拟 试 卷(答案）

第[1]道题答案：
240,120.
因385=5×7×11,在1至385中,5的倍数有(个);7的倍数有
=55(个);11的倍数有(个).35(5×7)的倍数有(个);55(5×11)的倍数有(个);77(7×11)的倍数有(个);385的倍数有一个.
由容斥原理知,是5或7或11的倍数的数的个数是77+55+35-11-7-5+1=145
(个).故与5,7,11都互质的数有385-145=240(个),即以385为分母的真分数中,最简分数有240个.
因当是最简分数时,也是最简分数且其和为1,即最简真分数是成对出现的,且每对两数之和为1.从而240个最简真分数可分成120对,其和为120.

第[2]道题答案：
673.
因1+2+3+…+62=,而1996-1953=43.
故被染成蓝色的□共有
(3+6+9+…+60)+43
=+43
=673(个).

第[3]道题答案：
, .
要使差尽可能小,被减数应尽可能地小,而减数应尽可能地大.故被减数表示循环的圆点要加在0上,而减数表示循环的圆点应加在8上,该数中有两位是8,故选放在9前的8上.

第[4]道题答案：
270.
设原定车速为千米/小时,原定时间为小时,则有:,
解得.
再设汽车行120千米用时为小时,则有:,
解得.
故汽车速度为120÷=45(千米/小时),于是甲乙两地相距45×6=270(千米).

第[5]道题答案：
30.
显然,梯形的面积与梯形的面积相等,而=12-4=8.故面积为.

第[6]道题答案：
.
因1993=3×663+2×2,故将它分成+2+2时,这些加数之积最大.

第[7]道题答案：
94.
李明每60秒做3题,故每20秒做一题,做5题用时100秒.从而张强做5题用时100-6=94(秒),每题用时94÷5=18.8(秒).
张强做100题时,用时18.8×100=1880(秒),此时李明做完了1880÷20=94
(题).

第[8]道题答案：
6.
设这些同学共有人,则有,解得.

第[9]道题答案：
239,17.
将4063分解质因数得4063=239×17.

第[10]道题答案：
11.
在“田”字格中,最大的为9+9+9+9=36,最小的为1+1+1+1=4.故四数之和有36-4+1=33(种).
而在20×20的网格中,应有19×19=361个不同的“田”字形.故由抽屉原理,总有(个)相同.

第[11]道题答案：
至少要雇2名向导,走法如下:设每人每天的食物量为单位1.
第一天,旅行者与向导甲乙同行.一天后每人剩3个单位食物,甲给旅行者及乙各一单位,自己留1单位.
第二天,甲返回,旅行者,乙继续前行,这天后,二人各剩3个单位食品.乙给1个单位食品给旅行者,自己留2单位.
然后乙用2天时间返回,旅行者用4天穿过沙漠.

第[12]道题答案：
在原来的盐水中,盐占水的,
增加食盐后,盐水中盐占水的,
增加食盐后,盐水中水的重量是(千克).
所以原来盐水重量为36÷(1-10%)=40(千克).
原来盐的重量为40×10%=4(千克).

第[13]道题答案：
将平行四边形分成三类:¬尖角在上、下方;­尖角在左下、右上方;
®尖角在左上、右下方,并设每一个小三角形面积为1.
在第¬类中,面积为2的有6个;面积为4的有6个;面积为6的有2个;面积为8的有1个,共有15个.
同理,在第­®两类中,平行四边形也各有15个,合计45个.

第[14]道题答案：
巨蟒的头数的改变量依次是:增加9个,减少3个,减少21个,减少15个,都是3的倍数,而1000不是3的倍数.故大力士不能战胜巨蟒.