第01章习题分析与解答.doc

第一章 质点运动学习题解答
第一章 质点运动学习题解答
习题1-1图

1-1 质点作曲线运动,在时刻质点的位矢为,速度为,速率为,在至时间内的位移为, 路程为, 位矢大小的变化量为 ( 或称),平均速度为,平均速率为．
(1) 根据上述情况,则必有( B )
(A)
(B) ，当时有
(C) ，当时有
(D) ，当时有
(2) 根据上述情况,则必有( C )
(A) ， (B) ，
(C) ， (D) ，
1-2 一运动质点在某瞬时位于位矢的端点处,对其速度的大小有四种意见,即
(1)；　(2)；　(3)；　(4)．
下述判断正确的是( D )
(A) 只有(1)(2)正确　　　 　(B) 只有(2)正确
(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确
1-3 质点作曲线运动,表示位置矢量,表示速度,表示加速度,表示路程, 表示切向加速度．对下列表达式,即
(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。
下述判断正确的是(　D )
(A) 只有(1)、(2)是对的 (B) 只有(3)、(4)是对的
(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的
1-4 一个质点在做圆周运动时,则有( B )
(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变
(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变
(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变
(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变
1-5 一质点沿轴运动，其坐标与时间的关系为，则该质点速度方向沿轴正向的时间区间为( A )。
(A) (B) (C) (D)
1-6 质点的运动方程为，则质点在秒时到原点的距离为 m ，速度矢量为 m/s 。
1-7 一质点做半径为、周期为的匀速率圆周运动，试问经过四分之一周期的时间间隔内，质点所发生的位移的大小是（ ），走过的路程是（ ）。
1-8 已知质点以初速度、加速度作直线运动（），则速度与时间的关系式为（ ）。
1-9 一质点沿半径米的圆周运动，其所走路程与时间的关系为，则在秒时速率为（），切向加速度的值为（）。

习题1-11图

1-10 飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以的速度由东向西刮来，如果飞机的航速(在静止空气中的速率)，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明。
解：设下标A 指飞机，F 指空气，E 指地面。由题可知：
vFE =60 km/h 正西方向。
vAF =180 km/h 方向未知
vAE 大小未知， 正北方向
由相对速度关系有：
、、构成直角三角形，可得：
；
1-11 如图，一人用绳拉一辆位于高出地面的平台上的小车在水平地面上奔跑，已知人的速度u为恒量，绳端与小车的高度差为h。设人在滑轮正下方时开始计时，求t时刻小车的速度和加速度。
分析：根据图可知绳的变化与人运动的时间有关。在任何时刻t,绳、人距离墙的距离和高度h满足：

由于绳长对时间一阶导数就是小车的速率，因此可对上式进行求导得到速度（速率），速度求导得到加速度。
解：由可求出。
上式对时间求一阶导数：
上式再求导：
20
4
1

10
10
20

2
6
A
B
C
D
习题1-12图
1-12 一质点沿轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如习题图1-12所示．设 时,．试根据已知的图，画出图以及图。
分析　根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v-t 图中求出各段的斜率,即可作出a-t 图线．又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t 图为t 的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x＝x(t),求出不同时刻t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t 图．
习题1-12图

20
00
4

10
10
20

2
6
B
解　将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为
　 (匀加速直线运动)
　　　　 (匀速直线运动)
　(匀减速直线运动)
根据上述结果即可作出质点的a-t 图［图(B)］．
在匀变速直线运动中,有

由此,可计算在0～2ｓ和4～6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为

用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x -t 图．在2～4ｓ时间内, 质点是作的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k＝20的一段直线［图(c)］．

1-13 一质点P 沿半径R＝3.0m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0s，设t ＝0时，质点位于O 点。按习题1-13(a)图中所示Oxy坐标系，求(1) 质点P在任意时刻的位矢；(2)5 s时的速度和加速度。
习题1-13图

分析　该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′＝x′(t)和y′＝y′(t)来表示圆周运动是比较方便的．然后,运用坐标变换x ＝x0 ＋x′和y ＝y0 ＋y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．

解　(1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因,则质点P 的参数方程为
,　
坐标变换后,在Oxy 坐标系中有
,　
则质点P 的位矢方程为

(2) 5ｓ时的速度和加速度分别为

1-14 一质点在半径为R的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A运动到位置B,OA和OB所对的圆心角为Δθ。(1)试证位置A和B之间的平均加速度为；(2) 当Δθ分别等于90°、30°、10°和1°时,平均加速度各为多少？并对结果加以讨论。
分析　瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为和．在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为, ,式中｜Δv｜可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转过的角度Δθ 求出．
由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt→0 时的极限值．
解　(1) 由图(b)可看到Δv ＝v2 -v1 ,故

(a)

(b)
习题1-14图

而

所以

(2) 将Δθ＝90°,30°,10°,1°分别代入上式,
得
,
,
以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度．
1-15 一质点在半径为0.10m的圆周上运动,其角位置为,式中θ的单位为rad，t的单位为s。(1) 求在t＝2.0s时质点的法向加速度和切向加速度。
(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？
(3) t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

解:
(1) 由题意，得

则质点的切向加速度和法向加速度分别为

则 t =2.0s 时，切向加速度和法向加速度分别为

(2) 由题意知

由 ,可得

将式(1)、(2) 代入上式得

此时角位置为

(3) 要使 ,且 ;

可得到,最后
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