3-1-4-空间向量的正交分解及其坐标表示演示教学.ppt

,课前探究学习,课堂讲练互动,活页规范训练,3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示,空间向量基本定理,定理：如果三个向量,a,、,b,、,c,不共面，那么对空间任一向量,p,，存在有序实数组,(,x,，,y,，,z,),，使得,p,_,，其中,a,，,b,，,c,叫做空间的一个,_,，,a,，,b,，,c,都叫做,_,试一试,：,空间的基底是唯一的吗,？,提示,由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一,自学导引,1,xa,yb,zc,基底,基向量,空间向量的正交分解及其坐标表示,(1),单位正交基底：三个有公共起点,O,的两两垂直的单位向量,e,1,，,e,2,，,e,3,称为单位正交基底,(2),空间直角坐标系：以,e,1,，,e,2,，,e,3,的公共起点,O,为原点，分别以,e,1,，,e,2,，,e,3,的方向为,x,轴，,y,轴，,z,轴的正方向建立空间直角坐标系,O,xyz,.,2,xe,1,ye,2,ze,3,x,，,y,，,z,p,(,x,，,y,，,z,),试一试：,你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上的向量的坐标吗？,基底的选择,为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一是所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及其夹角已知或易求,选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量在该基底下的坐标同一基底下的向量运算可以简化为坐标进行一般情况下，选的基底是单位正交基底,空间向量的正交分解及其坐标表示的理解,(1),建立空间直角坐标系,O,xyz,.,分别沿,x,轴、,y,轴、,z,轴的正方向引单位向量,i,，,j,，,k,，则,i,，,j,，,k,叫做单位正交基底单位向量,i,，,j,，,k,都叫做坐标向量,名师点睛,1,2,(2),在空间直角坐标系中，已知任一向量,a,，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组,(,a,1,，,a,2,，,a,3,),使,a,a,1,i,a,2,j,a,3,k,，,a,1,i,，,a,2,j,，,a,3,k,分别为向量,a,在,i,，,j,，,k,方向上的分向量，有序实数组,(,a,1,，,a,2,，,a,3,),叫做向量,a,在此直角坐标系中的坐标，可记作,a,(,a,1,，,a,2,，,a,3,),(3),空间任一点,P,的坐标的确定，如图所示，过点,P,作面,xOy,的垂线，垂足为,P,，在面,xOy,中，过,P,分别作,x,轴、,y,轴的垂线，垂足分别为,A,，,C,，则,|,x,|,P,C,，,|,y,|,AP,，,|,z,|,PP,.,空间中一点,P,(,a,，,b,，,c,),关于,xOy,面、,xOz,面、,yOz,面、,x,轴、,y,轴、,z,轴及坐标原点对称的点的坐标分别为,P,1,(,a,，,b,，,c,),，,P,2,(,a,，,b,，,c,),，,P,3,(,a,，,b,，,c,),，,P,4,(,a,，,b,，,c,),，,P,5,(,a,，,b,，,c,),，,P,6,(,a,，,b,，,c,),，,P,7,(,a,，,b,，,c,),题型一,基底的判断,若,a,，,b,，,c,是空间的一个基底，判断,a,b,，,b,c,，,c,a,能否作为该空间的一个基底,思路探索,可先用反证法判断,a,b,，,b,c,，,c,a,是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则不能作为一个基底,【,例,1,】,解,假设,a,b,，,b,c,，,c,a,共面，则存在实数,，,使得,a,b,(,b,c,),(,c,a,),，,a,b,b,a,(,),c,.,a,，,b,，,c,为基底，,a,，,b,，,c,不共面，,规律方法,判断三个向量,a,，,b,，,c,能否作为基底，关键是理解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底判断,a,，,b,，,c,三个向量是否共面，常用反证法，即判断三个向量是否满足,a,b,b,，若满足则共面，若不满足则不共面,以下四个命题中正确的是,_,空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；,若,a,，,b,，,c,为空间的一个基底，则,a,，,b,，,c,全不是零向量；,如果向量,a,，,b,与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有,a,与,b,共线；,任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底,解析,因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故,不正确；,正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确,答案,【,变式,1,】,题型,二,用基底表示向量,【,例,2,】,规律方法,(1),空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一的；,(2),用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用,【,变式,2,】,题型,三,求空间向量的坐标,【,例,3,】,【,题后反思,】,根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的线性关系式三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量,【,变式,3,】,误区警示,坐标系建立不当致误,【,示,例,】,在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境,单击此处进入 活页规范训练,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,