八年级下册数学《四边形》矩形、菱形知识点整理.doc

  矩形、菱形
一、本节学习指导
矩形、菱形是特殊的平行四边形，因此平行四边形拥有的性质它们均有。那么它们也有只属于它们的特征，这一节就来学习这些。同样，同学们需要多做练习题。

二、知识要点
1、矩形

（1）、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（2）、矩形的性质：① 矩形具有平行四边形的一切性质；
② 矩形的四个角都是直角；
③ 矩形的对角线平分且相等；（AC=BD）
④ 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。

提示：⑴ “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；
⑵ 矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

（3）、矩形判定方法：
⑴ 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
⑵ 方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。
⑶ 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。

如图，M是四边形ABCD的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形．
分析：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形．可先证明△AMB≌△DMC，从而的出∠A=∠D，又因为∠A+∠D=180°，所以∠A=∠D=90°，所以这个平行四边形是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠BCM，
又∵MB=MC，
∴∠MBC=∠BCM，
∴∠AMB=∠DMC，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∴△AMB≌△DMC，
∴∠A=∠D，而∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠D=90°，
∴这个平行四边形是矩形．
例：

2、菱形

（1）、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

(2)、菱形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；
⑵ 菱形的四条边都相等；
⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷ 菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，
可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
（3）、菱形的判定方法：
⑴ 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
⑵ 判断方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
⑶ 判断方法2：四条边相等的四边形是菱形。

（4）、菱形面积的计算：

菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半
S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）

归纳：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。

例：
如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE∥OC，CE∥OD，试判断四边形OCDE是何特殊四边形，并加以证明．

分析：由平行线可得四边形DOCE为平行四边形，又矩形对角线互相平分且相等，则可得四边形DOCE为菱形．

解：菱形．
证明：∵DE∥OC，CE∥OD
∴四边形DOCE为平行四边形
又∵四边形ABCD是矩形
∴OC=OD
∴四边形DOCE为菱形．

三、经验之谈：
菱形和矩形考试经常出现，并且频率相当高。同学们要记住它们的特性和判定方法，证明此类题型的时候要“根据已有条件来凑条件”来证明会容易些。
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