高三理科数学012.doc

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期数 0509 SXG3 012
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

预 习 篇
[同步教学信息]

预习篇九 函数的极限

【教材阅读提示】
（1）当f(x)=a且时，我们说当时，f(x)的极限存在，且极限为a，记作.
（2）当且时，我们说f(x)在处有极限，且极限为a，记作 ，需要说明的是，函数f(x)在处有极限，与f(x)在处是否有定义无关.
【基础知识精讲】
一、知识结构

二、重要内容提示
1．当时，函数f(x)的极限
当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就称当x趋向于正无穷大时，f(x)的极限是a, 记作f(x)= a，同样地，当自变量x取负值并其绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就称当x趋向于负无穷大时，f(x)的极限是a，记作f(x)=a.
当且仅当f(x)=a且f(x)=a，称当时，f(x)的极限是a，记作f(x)=a.
2．当时，函数f(x)的极限
当自变量x无限趋近于常数时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就称当x趋近于时，f(x)的极限是a，记作f(x)=a.
当自变量x从常数的左侧无限趋近于时，函数f(x)无限趋近于常数a，就称f(x)在处存在左极限a，记作f(x)=a，同样地，当x从的右侧无限趋近于时，函数f(x)无限趋近于常数a，就称f(x)在处存在右极限a，记作f(x)=a.
关系：f(x)=af(x)=f(x)=a.
注意：f(x)=a，是由f(x)=a且f(x)=a定义的. 而上述关系并非是f(x)=a的定义，只是一种等价条件，事实上的方式，不止是与这两种，而可以是任何一种，本质是“无限趋近”.
说明：（1）f(x)无限趋近于常数a，是指| f(x)－a|无限趋向于0，即| f(x)－a|可以任意小，并且保持任意小.
（2）函数f(x)当时的极限与数列极限的异同.
数列中的项可以看作是n的函数，即，因此，极限也可看作是一种特殊的函数的极限，即.
f(x)和f(x)是两个单向极限，它们与数列的极限很相似，所不同的是，前者x在无限趋近于+或－的过程中一般是连续变化的，后者是n取正整数不连续地无限趋近于+的.
（3）双侧极限和单侧极限
f(x)=a是双侧极限，的意义是x可以从大于和小于两个方向无限趋近于. 但，因为函数f(x)的极限是a仅与f(x)在点附近的函数值的变化趋势有关，而与f(x)在点处的值无关. 一方面，f(x)可以在点处无定义，另一方面，即使f(x)在点处有定义，f(x)也不一定等于.
f(x)=a和f(x)=a都是单侧极限，的意义是x只从小于的方向无限趋近于，的意义是x只从大于的方向无限趋近于，但都有，其理由与f(x)=a中一样.
【典型例题解析】
例1 求下列极限：

解：
.
例2 已知作出函数f(x)的图象，并讨论是否存在.
解：函数图象如图所示，
∵,
,
∴=1.
例3 判断下列命题的真假：
（1）若，则.
（2）若不存在，则也不存在.
（3）若f(x)在处无定义，则不存在.
（4）若不存在，则f(x)在处无定义.
（5）若存在，则与要么同时存在，要么同时不存在.
解：（1）假命题
反例：在x=0处极限均为0，但f(0)=0,g(0)=1，事实上f(x)或g(x)在处甚至可能无定义.
（2）假命题
反例：f(x)=(－1)=－1, f(x)=1=1, 不存在，但.
∴=1.
（3）假命题
事实上，（2）中的即是很好的反例.
（4）假命题
反例：由（2）的反例中可知不存在，但f(0)=0.
（5）假命题
反例：，显然有,且，但不存在，=0.
例4 当a, b取何值时，存在，其值为多少？
解：x=0是此分段函数的分界点，而存在的充要条件是f(x)与f(x)都存在并且相等，∴f(x)=，f(x)=，
∴当b=2，a取任意常数时，f(x)存在，其值为2.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．函数f(x)在处的左、右极限相等是f(x)在处极限存在的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．的值是（ ）
A．4 B．－4 C．0 D．不存在
二、填空题
3．设m, n均为正整数，则当m＜n时，________，当m= n时，________.
4．设且存在，则a=______.

同步检测[※※级]
一、选择题
1．设，若存在，则常数b的值是（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．e
2．下列结论中正确的是（ ）
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
A．（1）（2） B．（2）（3）
C．（3）（4） D．（1）（4）
3．设函数，以下叙述正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
4．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．=________.
6．=________.
三、解答题
7．讨论下列函数当和时的极限.

参考答案
同步落实[※级]
一、1．C 2．C
二、3．0，1 4．2
同步检测[※※级]
一、1．B 2．D 3．C 4．B
二、5．5 6．4
三、7．解：（1）当时，；当时，，故时，f(x)没有极限.
（2）当时，；当时，，故当时，f(x)没有极限.
（3）当时，；当时，，故当时，f(x)有极限，极限为0.