资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Hebei University of Technology-School of Mechanical Engineering,*,第一章绪论,知识点：,测量的基本概念、测量的分类、国际单位制；,误差的定义、表达形式、误差分类、误差来源；,描述误差大小的精度概念及其与误差类型之间的关系；,测量中的有效数字概念及选取，及在数据处理中的基本方法。,1,一、测量的基本概念,测量的目的,：为了获得更为准确的信息。,测量的定义,：测量是将被测量与一个作为测量单位的标准量,进行比较得出比值的过程。,测量与测试的区别和联系：,概念：,测试是带有试验性质的测量。,目的：,测试的目的是为了获取被测对象的信息,过程：,测试的过程是借助专门的设备、仪器或测试系统，通 过适当的实验方法与必需的信号分析及数据处理，由测得信号获取与研究对象有关信息量值的过程。,测量过程：对测量进行的一系列操作，完整的测量过程包括：被测量、测量单位、测量方法、测量精度；测量结果：测量数值,+,单位,+,对测量结果的精度评定（测量的不确定度）。,2,二、测量的分类,1,、按获取测量结果的方法分类：,直接测量：被测量由测量装置或测量仪器可以直接读出测量结果的测量方法；,用,表示，其中,表示被测量的实际测量结果；,间接测量：先测量一个或多个直接测量的值，然后利用已知的函数关系运算,得到被测量；用,表示，其中,表示被测量的值，,表示可以直接测量的量值；例：密度、飞机的高度。,的值。例：尺子测长度、温度计测温度、天平测质量等。,表示被测量,组合测量：通过测量所有被测量的各种组合，通过列方程来求解被测量的方法；,例如：用万用表测电阻,R1,、,R2,串联后的阻值和并联后的阻值，,3,二、测量的分类,2,、按测量条件分类：,等精度测量：在,相同的测量精度条件,下，对同一待测量进,不等精度测量（非等精度测量）：在测量过程中倘若有任何一个环节产生了变化，即在,不同的测量精度条件,下，只要变化其中的某一因素，对同一待测量进行的测量；,对于不等精度测量所获得的数据，应,区别对待,。,行的,重复性,测量；,对于等精度测量所获得的数据，它们的,等位精度是相同的,，按,同等原则,来对待。,4,二、测量的分类,3,、按被测对象在测量过程中所处状态来划分：,静态测量：被测对象在测量过程中可以认为是固定不变的；,被测量或误差作为,随机变量,来进行相应的处理。,动态测量：被测量在测量过程中处于随时间不断变化的状态；,被测量或误差作为,随机过程,来进行相应的处理。,5,国际单位制共有七个基本单位：,量,常用符号,单位名称,单位符号,长度,l,米（又称“公尺”）,m,质量,m,千克（又称“公斤”）,kg,时间,t,秒,s,电流,I,安,培,A,热力学温度,T,开,尔文,K,物质的量,n,摩,尔,mol,发光强度,Iv,坎,德拉,cd,三、国际单位制,6,误差,（,Error,）：,测得值与被测量的真值之间的差。,误差,=,测得值,真值,真值,（,True Value,）,：,观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。,四、误差的定义、表示方法、分类,问题：真值如何获得？,分类：,理论真值,约定真值,相对真值,：通过理论计算得到的真值。,：是指对于给定用途具有适当不确定度的、赋予,特 定量的值。这个术语在,计量学中常用。,：相对于所用到的标准器所给定的,在使用中，高一等级标准器的误差与,低一级标准器或普通计量仪器相比为其（,1/3,1/20,），,可认为,高一等级标准器测量值,为后者的相对真值。,7,误差的表示方法,误差,绝对,误差,相对,误差,粗大,误差,系统,误差,随机,误差,按表示形式,按性质特点,对于相同的被测量，绝对误差可用来评定测量精度的高低；,对于不同的被测量，相对误差可用来评定测量精度的高低。,8,引用误差,（,Fiducial Error of a Measuring Instrument,）,该标称范围（或量程）上限,引用误差,仪器某标称范围（或量程）内的最大绝对误差,引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又称为,引用相对误差,、满度误差。,1,、问题的提出？,给出我们所用的仪器仪表准确度的等级,2,、引用误差的定义：一个量程内的最大绝对误差与测量范围上限或满量程之比,9,我国电工仪表、压力表的,准确度等级,（,Accuracy Class,）,就是按照,引用误差进行分级的,。,电工仪表、压力表的,准确度等级,仪表的最大允许误差去掉其正负号和百分号得到的数值,称为仪表的,准确度等级,。,电工类仪表按准确度等级分为七级：,0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0,10,电工仪表、压力表的,准确度等级,选择仪器仪表的时候注意：,仪表的精度等级；,仪表的量程；,被测量与量程之间的关系：一般是在,2/3,满量程最好。,当一个仪表的等级,s,选定后，用此表测量某一被测量,x,时，表的最大引用误差为,s%,所产生的最大绝对误差为,最大相对误差为,绝对误差的最大值与该仪表的标称范围（或量程）上限,x,m,成正比,选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围（或量程）上限，测量的相对误差越小，测量越准确,（公式2）,（公式1）,11,为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有因素都将引入测量误差。,主要来源,测量装置误差,测量环境误差,测量方法误差,测量人员误差,误差的来源,12,精度,误差与精度的关系：,误差,=,系统误差,+,随机误差,精度,=,精确度,=,精密度,+,准确度,随机误差影响精密度，系统误差影响准确度,13,测量结果保留有效数字的原则,测量结果保留位数的原则,1,：,最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。,有效数字的位数取决于误差，有效数字的末位应与误差的末位对齐；,测量结果保留位数的原则,2,：,在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一位数字作为参考。,14,数字舍入规则,-,四舍六入五凑偶,计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整：,若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加,1,。,若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数不变。,若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加,1,。,15,数据运算规则,在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数字，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字（或称为安全数字）。,在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。,在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。,在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。,16,1-9,使用凯特摆时，由公式,给定。,为,振动时间,为,。试求,g,及最大相对误差。如,果,今测出长度,测出为,为了,使,g,的误差能小于,测量必须精确到多少？,，,T,的,解：由,得,17,对,进行全微分，令,并令,代替,得,从而,g,的最大相对误差为：,18,由,，得,所以,19,1-11,为什么在使用微安表时，总希望指针在全量程的,2/3,范围内使用？,解：设微安表的量程为,测量时指针的指示值为,X,，微安表的精度等级为,S,，最大误差,相对误差 ，一般 ，故当,X,越接近 相对误差就越小，故在使用微安表时，希望指针在全量程的,2/3,范围内使用。,对于指针式电表是由电信号控制弹簧产生不同扭矩带动表针旋转的，扭矩与表针偏角不是线性对应的，当表针指向量程的中间部分时，二者的线性度较好，故选取量程时，尽量使表针能够指向量程,2/3,部分。比较容易读数，另外不损坏仪器。,20,1-14,若用两种测量方法测量某零件的长度,L,1,=100mm,，其测量误差分别为 和 ，而用第三种方法测量另一零件的长度,L,2,=150mm,，其测量误差为 试比较三种测量方法精度的高低。,解：第一种方法测量的相对误差为：,第二种方法测量的相对误差为：,第三种方法测量的相对误差为：,相比较可知：第三种方法测量的精度最高，第一种方法测量的精度最低。,21,第二章 误差的基本性质与处理,知识点：,随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、特征、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。,在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。,能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。,22,2-7,在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量,5,次，测得数据（单位为,mm,）为,20.0015,，,20.0016,，,20.0018,，,20.0015,，,20.0011,。若测量值服从正态分布，试以,99%,的置信概率确定测量结果。,解：,求算术平均值,求单次测量的标准差,23,求算术平均值的标准差,确定测量的极限误差,测量值服从正态分布，置信概率为,99%,，查表得,t=2.60,极限误差为,写出最后测量结果,24,2-9,用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的,结果的置信限为,0.005mm,，当置信概率为,99%,时，试求必要的测量次数。,条件下，其标准差,，,若要求测量,解：由条件测量结果的置信限为,0.005mm,，有,根据题目给定的已知条件，有,25,当置信概率为,99%,时，查附录表,1,有,所以，必要的测量次数为,26,2-13,测量某角度共两次，测得值为,，,，,其标准差分别为,，,，,试求加权算术平均值及其标准差。,27,解：,加权算术平均值为,28,加权算术平均值的标准差为,由上面求得的加权算术平均值,29,可得到两次测量结果的残余误差为,所以，加权算术平均值的标准差为：,30,2-17,对某量进行,10,次测量，测得数据为,14.7,，,15.0,，,15.2,，,14.8,，,15.5,，,14.6,，,14.9,，,14.8,，,15.1,，,15.0,，试判断该测量列中是否存在系统误差。,解：测量数据的算术平均值为,残余误差,标准差,31,32,33,利用马利科夫准则，,，令,所以，测量列中含有线性系统误差。,又由阿卑,-,赫梅特准则，,所以，,则认为该测量列中含有周期性系统误差。,所以，认为该测量列中含有周期性线性系统误差。,34,2-18,对一线圈电感测量,10,次，前,4,次是和一个标准线圈比较得到的，后,6,次是和另一个标准线圈比较得到的，测量结果如下（单位为,mH,）：,50.82,，,50.83,，,50.87,，,50.89,；,50.78,，,50.78,，,50.75,，,50.85,，,50.82,，,50.81,。,试判断前,4,次与后,6,次测量中是否存在系统误差。,35,解：,：,50.82,，,50.83,，,50.87,，,50.89,：,50.78,，,50.78,，,50.75,，,50.85,，,50.82,，,50.81,将两组数据混合排列成下表：,36,所以用秩和检验法不能判断前,4,次与后,6,次测量中是否存在系统误差。,37,采用计算数据比较法,算术平均值的标准差,38,所以，,所以前,4,次与后,6,次测量中存在系统误差。,算术平均值的标准差,39,对某量进行,12,次测量，测得数据为,20.06,，,20.07,，,20.06,，,20.08,，,20.10,，,20.12,，,20.11,，,20.14,，,20.18,，,20.18,，,20.21,，,20.19,，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。,2-20,解：,测量数据的算术平均值为,残余误差,40,41,标准差,42,利用马利科夫准则，,n=12,令,k=6,所以，测量列中含有线性系统误差。,43,又由阿卑,-,赫梅特准则，,所以，,则认为该测量列中含有周期性系统误差。,所以，认为该测量列中含有周期性线性系统误差。,44,按贝赛尔公式：,按别捷尔斯公式：,45,所以，,则用此种方法不能判断测量列中是否存在系统误差。,46,对某量进行,15,次测量，测得数据为,28.53,，,28.52,，,28.50,，,29.52,，,28.53,，,28.53,，,28.50,，,28.49,，,28.49,，,28.51,，,28.53,，,28.52,，,28.49,，,28.40,，,28.50,，若这些测得值已消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值。,2-22,47,解：（,1,）用莱以特准则判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值：,48,由表中所知：,49,根据,准则，第,4,测得值的残余误差,即它含有粗大误差，故将此测得值剔除。再根据剩下的,14,个测得值重新计算，得到,50,根据,准则，第,14,个测得值的残余误差,51,即它含有粗大误差，故将此测得值剔除。再根据剩下的,13,个测得值重新计算，得到,52,由表中所示，剩下的,13,个测得值的残余误差均满足,故可认为这些值不再含有粗大误差。,53,（,2,）用格罗布斯准则判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值：,由表计算可到,第二章 误差的基本性质与处理,54,按测得值的大小，顺序排列得,故应先怀疑,是否含有粗大误差,55,计算,查表,2-13,得,则,所以第,4,个测量值含有粗大误差应剔除。,56,剩下,14,个数据，再重复上述步骤，判别,是否含有粗大误差。,按测得值的大小，顺序排列得,57,故应先怀疑,是否含有粗大误差,计算,查表,2-13,得,58,则,所以第,14,个测量值含有粗大误差应剔除。,剩下,13,个数据，再重复上述步骤，判别,是否含有粗大误差。,按测得值的大小，顺序排列得,59,剩下,13,个数据，再重复上述步骤，判别,是否含有粗大误差。,按测得值的大小，顺序排列得,60,故应先怀疑,是否含有粗大误差,计算,61,查表,2-13,得,则,故可判别,不包含粗大误差，而各,皆小于,1.294,，故可认为其余测得值不包含粗大误差。,62,（,3,）用狄克松准则判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值：,63,先判别最大值,因,n=15,，计算统计量,r,22,用,查表,2-14,得,则,故,含有粗大误差，应予剔除。,64,剩下,14,个数据，再重复上述步骤，,因,n=14,，计算统计量,r,22,用,对最大值,进行判别,查表,2-14,得,65,则,故,不含有粗大误差，,再判断最小值,因,n=14,，计算统计量,r,22,用,66,查表,2-14,得,则,故,含有粗大误差，应予剔除。,剩下,13,个数据，再重复上述步骤，,对最大值,进行判别,67,因,n=13,，计算统计量,r,21,用,查表,2-14,得,则,故,不含有粗大误差。,68,因,n=13,，计算统计量,r,21,用,查表,2-14,得,则,故,也不含有粗大误差，再判断最小值,69,第三章 误差的合成与分配,知识点,：,函数误差的基本概念、函数系统误差、函数随机误差的计算公式；,随机误差合成的基本原则：方和根方法,关键环节：误差传递系数,误差相关系数,已定系统误差合成的基本原则：代数和方法,未定系统误差合成的基本原则：方和根方法,-,标准差的合成,-,极限误差的合成,误差的分配,微小误差的定义、取舍原则及应用,最佳测量方案的确定,70,相对测量时需用,54.255mm,的量块组做标准件，量块组由,4,块量块研合而成，它们,3-1,的基本尺寸为,。,经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为,71,试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。,72,解：,量块组按基本尺寸使用时的系统误差为,所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值为,测量的极限误差为,73,74,75,76,77,78,79,3-3,长方体的边长分别为,标准误差均为,，测量时：,标准差各为,试求两种情况测量体积的标准差。,80,解：,长方体的体积计算公式为：,体积的标准差应为：,现可求出：,81,若：,则有：,若：,则有：,82,3-12,按公式,r,为,2cm,，,h,为,20cm,，要使体积的相对,求圆柱体体积，若已知,误差等于,1%,，试问,r,和,h,测量时误差应为多少？,解：若不考虑测量误差，圆柱体积为,83,根据题意，体积测量的相对误差为,1,，即测定体积的相对误差为：,即,现按等作用原则分配误差，可以求出,测定,r,的误差应为：,84,测定,h,的误差应为：,85,两边对,r,求导,两边对,h,求导,86,测量项目有两项 即,87,现在采用同一量具进行测量,故其极限测量误差相等则有,:,所以满足要求。,88,3-13,假定从支点到重心的长度为,L,的单摆振动周期为,T,，重力加速度可由公式,中给出。若要求测量,g,的,相对标准差,作用原则分配误差时，测量,L,和,T,的相对标准差应是多少？,，试问按等,解：由重力加速度公式,得,89,因为测量项目有两个，所以,按等作用原理分配误差，得,90,同理，,综上所述，测量,和,的相对标准差分别是,和,91,方法二：,则,由,两边对,L,求导,92,两边对,T,求导,93,测量项目有两项 即,n,=2,94,3-14,对某一质量进行,4,次重复测量，测得数据（单位：,g,）为,428.6,，,429.2,，,426.5,，,430.8,。,已知测量的已定系统误差,，测,量的个极限误差分量及其相应的传递系数如下表所列。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。,95,解：,4,次测量结果的平均值为：,修正已定系统误差后的测量结果的最可信赖值为：,96,该量的最可信赖值的极限误差为：,则测量结果应表示为：,97,第四章 测量不确定度,知识点,测量不确定度的基本概念，测量不确定度与误差的联系与区别；,标准不确定度的评定,A,类评定,B,类评定,自由度的概念、意义及确定方法,测量不确定度的合成,合成标准不确定度,展伸不确定度,不确定度报告,测量不确定度应用实例,98,第五章 线性参数的最小二乘处理,知识点：,1.,最小二乘法原理及其本质,2.,正规方程特点及表示形式,-,线性参数的最小二乘处理的正规方程,-,非线性参数的最小二乘处理的正规方程,-,最小二乘原理和算术平均值原理的关系,3.,两种求解参数估计的方法,-,基于矩阵的的最小二乘法参数估计,-,解方程组方法求解最小二乘法参数估计,4.,精度估计,-,直接测量数据的精度估计,-,最小二乘估计量的精度估计,99,参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾：,由误差方程,且要求,V,T,V,最小，则：,100,所以,：,101,5-3,已知误差方程为,试给出,、,的最小二乘处理及其相应精度。,、,解：方法一（常规解方程组方法）：,由误差方程组：,102,103,104,可得正规方程为：,105,由不定乘数的方程组：,106,107,第五章 线性参数的最小二乘处理,108,109,110,5-4,今有等精度测量方程组：,试用矩阵最小二乘法求,x,、,y,、,z,的最可信赖值及其精度。,111,解：误差方程为,式中,112,所以,代入误差方程得到,113,由,得,所以,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,第六章 回归分析,知识点：,回归分析的基本概念、作用、回归分析的思路；,一元线性回归方程的确定、,回归方程的方差分析及显著性检验,；,一元非线性回归求解思路、回归曲线函数类型得选取和检验。,130,131,132,133,134,检验回归方程的显著性，列表如下：,135,6-3,某含锡合金的熔点温度与含锡量有关，实验获得如下数据：,含锡量,（,%,）,20.3,28.1,35.5,42.0,50.7,58.6,65.9,74.9,80.3,86.4,熔点温度,/,416,386,368,337,305,282,258,224,201,183,设锡含量的数据无误差，求：熔点温度与含锡量之间的关系；预测含锡量为,60%,时，合金的熔点温度（置信概率,95%,）；如果要求熔点温度在,31032,5,之间，合金的含锡量应控制在什么范围内（,置信概率,95%,）？,解：用,x,、,y,分别表示含锡量的百分数和熔点温度。,（,1,）按实验数据在下图所示坐标系中描出散点。,136,由图可见，在实验区间内,y,与,x,的关系近似为线性关系，故设,y,对,x,的回归方程为,137,138,检验回归方程的显著性，列表如下：,所以，熔点温度与含锡量之间的关系为,139,(2),用回归方程，根据自变量,x,值预报因变量,y,值，也就是用到回归方程的预报精度问题。,当含锡量为,时，令,，则,残余标准差,当置信概率为,95%,时，,即合金的熔点温度将以,95%,的概率落在,273.50,278.02,之间。,140,所以,（,3,）利用回归方程计算自变量控制的方法：,由题意知,当置信概率为,95%,时，代入数字,141,直接求解 比较困难，为简化计算，令括号内的,其中,即当合金的含锡量,控制在,46.7%50.0%,范围内时，它的熔点,温度将以不小于,95%,的概率落在,310325,之间。,142,
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