图形平移.docx

八下第三章 图形的平移和旋转
第一节：图形的平移
教学目标：
1. 掌握平移的定义和性质。
2. 通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解平移前后两个图形对应点连线平行且
相等、对应线段和对应角分别相等的性质。
3. 经历观察分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，经历探索图形平移基本性质的过程，
激发学生学习数学的兴趣；通过欣赏生活中平移图形与学生们自己设计平移图案，使学生
感受平移美。
教学重点：掌握平移的定义和基本性质
教学难点：对平移性质的总结和理解。
基础知识疏理
●知识点一：平移的概念。
1．定义：在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2．确定平移的两要素：方向和距离。
3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置：平移前后的图形全等。
4．相关概念：平移前后能相互重合的点、线段、角分别称为对应点、对应线段、对应角。
5．对应点之间的连线（都平行）：为平移的方向。体现了方向的一致性。
6．平移与全等：平移是产生全等图形的一个途径。
●知识点二：平移动的基本性质。
1．实质：图形上的每一个点都沿同一个方向移动了相同的距离。
2．全等性：平移前后图形的形状、大小完全相同（全等）
3．相关性质：连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。对应线段平行（或在
同一条直线上）且相等。对应角相等。（沿某一边方向移动）
4．重要的关键词：平行且相等。方向、距离。
5．两种情形：方向与一边同向（平行或重合）；方向不与任何一边同向。
●知识点三：平面直角坐标系中的平移变换。
1． 一个图形沿x轴方向， y轴方向平移后所得的图形，可以看作是由原来的图形经过一次
平移得到的。
2．每组对应点坐标的变化规律都相同。
3．找准对应点之间的坐标变换规律，即可找到平移的方向和距离。
4．一次函数y=kx+b 就是把正比例函数y=kx沿y轴平移个单位得到的，其中，b的
符号决定平移的方向。
平移规律：
1. 在平面直角坐标系中，点的平移可引起图形的平移，把一个图形上各点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，就是把原图形沿x轴向右（或向左）平移a个单位长度；把各点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，就是把原图形沿y轴向上（或向下）平移a个单位长度。
2. 平移规律：（1）向右平移a（a＞0）个单位长度，P（x，y）P（x+a，y）；（2）向左平移a（a＞0）个单位长度，P（x，y）P（x-a，y）；（3）向上平移b（b＞0）个长度单位，P（x，y）P（x，y+b）；（4）向下平移b（b＞0）个长度单位，P（x，y）P（x，y-b）。
总结平移规律：左减右加，上加下减。
一次函数平移规律：左加右减，上加下减。
●知识点四：平移作图。
1．理论依据：平移的特征。（方向，距离！）
2．步骤：一找（拐点）；二连（一对已知的对应点）；三定（距离、方向）；四作（其它
拐点的对应点）；五连（按照原图顺序连接所有拐点的对应点）。
3． 作其它拐点的对应点：按照第二步中确定的方向和距离，作出其它拐点的对应点（平行、
相等、同向）。
4． 平移作图法不唯一：在格纸上也可像例2那样利用格纸找平移的规律然后作图。（多次
平移动）——坐标法。
5．关联：点平移——线段平移——图形平移的关系。
【典型例题】
题型一：图形的平移
【例1】图形平移后，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小.
【答案】相等
【例2】如下图，平移△ABC就可以得到△A′B′C′．点A与点A′叫做，线
段AC所对应的线段是，∠C所对应的角是.
【答案】对应点；;

【例3】将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ）
A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm
【答案】C
【解析】平移不改变图形的形状和大小

【例4】如下图，把“金鱼”向右平移8格，画出平移得到的“金鱼”．

【答案】略
【方法总结】将每个点平移后连线即可.
【注意】需要求学生用尺子连线
【例5】如右上图，请你描述房子甲经过怎样的平移可以得到房子乙？

【答案】向右平移8个单位，向下平移3个单位.
【解析】只要平移一个顶点进行观察即可
【例6】如图，在平面直角坐标系中，把△ABC进行平移，使点A移至坐标原点O。请作出
平移后的△OB,C,,并求出△OB,C,的三个顶点的坐标和平移的距离。

【借题发挥】
1．关于平移的说法，下列正确的是（ ）
A．经过平移对应线段相等； B．经过平移对应角可能会改变
C．经过平移对应点所连的线段不相等； D．经过平移图形会改
【答案】A
2．如图，四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH，填空
（1）CD=______，（2）∠ F＝______（3）HE=，（4）∠D=_____，（5）DH=_________

【答案】HG;；DA;;BF（答案不唯一）
3． 平移不改变图形的________，只改变图形的位置。故此若将线段AB向右平移3cm，得到
线段CD，如果AB=5㎝，则 CD=___________
【答案】形状；5㎝
4．如下下图，把箭头先向右平移8格，再向上平移5格，画出两次平移得到的箭头．
【答案】略

5．如图，已知△ABC，画出△ABC沿 PQ方向平移2cm后的△A′B′C′．
【答案】略

6．仔细观察下列四个图形，填空：

上述图案中 ________________ 号图形是由自身的一部分经平移后得到的.
【答案】（3）

7. 如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点均为格点，将△ABC沿x
轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点），解答下列问题：
（1）画出平移后的△A,B,C,，并直接写出A,，B,，C,的坐标。
（2）求出在整个平移过程中，△ABC扫过的面积。

第二节 ：图形的旋转
教学目标：
1. 通过具体实例认识平面图形的旋转，探索它的基本性质，会进行简单的旋转画图；
2. 认识并欣赏旋转在自然界和现实生活中的应用。
3. 经历有关旋转的观察、操作。分析和、以及抽象、概括等过程，进一步积累数学活动经验，增强动手实践能力，发展空间观念。
教学重点：熟悉旋转中的一些概念，以及通过实验，探索出中心旋转的基本特征。
教学难点：通过观察、实验、发展旋转的基本特征，根据旋转图形找对应点。
基础知识疏理
●知识点一：旋转的概念
1． 定义：平面内，将一个图形绕一个定点按某一方向旋转一个角度，这样的图形运动称为
旋转。这个定点称为旋转中心；运动的角称为旋转角。
2．确定旋转的要素：一心；一角；一方向。
3．旋转中心的位置：图内、图上、图外都可。
4．对应元素：对应点、对应线段、对应角。
5．旋转角：任意一对对应点与旋转中心连续所成的角是旋转脚（都相等）。
6．本质：图上每个点都同时按照相同的方向绕旋转中心旋转了相同的角度。
●知识点二：旋转的基本特征。
1．旋转与全等：旋转不改变图形的形状和大小，只改变其位置。旋转前后两图形全等。
2．基本特征：
⑴经旋转，图上每一等都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度。对应点的排列次序相
同。
⑵对应点到旋转中心的距离相等；任一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。
⑶对应线段相等，对应角相等。——全等。
3.注意：旋转的范围是在同一平面内。否则可能旋转为立体图形。
●知识点三：旋转作图。
1.两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；
②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．
2.．理论依据：旋转的特征。
3．步骤：
一定：定心、定方向、定旋转角。
二找：找拐点。
三转：每个拐点与旋转中心相连接，按照旋转方和旋转角绕旋转中心旋转，得到对应点。
四连：按照原图的的次序连接这些对应点，得到所作的图形。
4.思路：按照——旋转点——旋转线段——旋转图形，分析、理解、消化、记忆。
题型二：图形的旋转
【例1】.图形在旋转的过程中，对应点到旋转中心的距离___________，对应线段的长度、对应角的大小___________，旋转前后图形的大小和形状____________．
【答案】相等；相等；不变
【例2】.仔细观察下列三个图形，回答：

(1) 图(1)的旋转角为 _________ 度．
(2) 图(2)的旋转角为 _________ 度．
(3) 图(3)的旋转角为 _________ 度．
【答案】180；45；90
【例4】左图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（ ）

【答案】C
【例5】在下图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案．
【答案】略
．
O

【例6】如图，正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的，其旋转中心为______点，旋转角度依次为________，________，________.

【答案】AOD（答案不唯一）；O；90°；180°；270°
【例7】(1)如下图1，正方形ABCD的边BC与正方形ECGF的边CG在同一条直线上，且已知
三角形EBC经旋转可与三角形GDC完全重叠，三角形EBC绕着哪个点朝什么方向旋
转可以得到三角形GDC?指出旋转角的大小．
（2）如下图2，三角形ABC的边BC与三角形CDE的边CE在同一条直线上，且AB=BC=AC，
CD=CE=DE.三角形BCD经旋转可与三角形ACE完全重叠，三角形BCD绕着哪个点朝什
么方向旋转可以得到三角形ACE？并指出旋转角的大小.

【答案】（1）以点C为旋转中心，顺时针方向旋转；旋转角为90°；（2）以点C为旋转中心，顺时针方向旋转；旋转角为60°
【借题发挥】
1．△ABC是等腰直角三角形，如下图，AB=AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则其旋转角的度数为（ ）
A．90° B．120° C．60° D．45°

【答案】A
【解析】只要研究三角形中一条边的旋转角度即可.本题只要研究即可.
2. （1）将直角△ABC绕着点C顺时针旋转90°，画出旋转后得到的三角形，标出对应点A′
B′．
（2） 将直角△ABC绕着点A逆时针旋转90°，画出旋转后得到的三角形，标出对应点B″、
C″．
【答案】略

3．先将△ABC绕着点A逆时针旋转120°，再将△ABC绕着点A顺时针旋转120°，画出两次旋转得到的图形．
【答案】略

4．如下图，
图(1)的旋转中心为点______ ，旋转角是______度；
图(2)的旋转中心为点_______，旋转角是______度；
图(3)的旋转中心为点_______，旋转角是______度；
图(4)的旋转中心为点_______，旋转角是______度．

【答案】O，120；O，90；O，72；O，60
5．下列关于旋转和平移的说法正确的是（ ）
A．旋转使图形的形状发生改变
B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到
C．平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小
D．对应点到旋转中心距离相等
【答案】D

第三节 ：中心对称
教学目标：
1. 了解中心对称、对称中心和对称点的概念；
2. 理解中心对称的性质；
3. 掌握运用中心对称的性质作图的方法。
教学重点：
1. 中心对称的概念；
2. 中心对称的性质，利用中心对称的性质进行作图。
教学难点：
1. 中心对称与轴对称的区别和联系；
2. 利用中心对称的性质准确作图。
基础知识疏理
●知识点一：中心对称与中心对称图
1． 中心对称：把一个图形绕某一点旋转180度，它能够与另一个图形重合，那么，就说这
两个图形关于这个点对称（中心对称）。
2． 中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重
合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
3．中心对称是旋转的特例：所以具有旋转的一切特征。不同的是旋转角固定为180度。
4．辨识：中心对称：两个图；中心对称图形：一个图。
5．识别两图是否成中心对称：
方法1：将其中一个图形绕某一点旋转180度，如果能够与另一个完全重合，那么它们关于
这一点中心对称。
方法2：如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图
形一定关于这一点成中心对称.

名称
中心对称
中心对称图形
定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称，这个点叫做对称中心,两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点
如果一个图形绕着一个点旋转180°后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心

性质
①两个图形完全重合；
②对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
①一个图形绕着一个点旋转180°后的图形能够与原来的图形重合
②对应点的连线都经过旋转中心
区别
①两个图形的关系
②对称点在两个图形上
① 具有某种性质的一个图形
② 对称点在一个图形上
联系
若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形。

旋转对称图形：把一个图形绕着一个顶点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个顶点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。（＜旋转角＜）
典型例题：
题型一：旋转对称图形与中心对称图形
【例1】下列图形中，哪些是旋转对称图形，哪些不是旋转对称图形？如果是旋转对称图形，
请在图中标出旋转中心，并在括号内填入“是”，以及所有的旋转角和最小旋转角；
如果不是旋转对称图形，请在括号内填入“不是”．
(1)等边的三角形ABC，且AO=BO=OC． (2)正方形ABCD，且AC与BD相交于点0．

（ ） （ ）
(3)由圆的五等分点画出的五角星图形． (4)由六个相同的平行四边形及圆拼成的图形．

（ ） （ ）

(5)直角三角形 (6)梯形

（ ） （ ）
【例2】(1)在第1题中，哪些图形是中心对称图形？中心对称图形与旋转对称图形的主要区别是什么？
【例3】(1)画出下列中心对称图形的对称中心．
红十字会标 2002年国际数学家大会会标的一部分图案

【借题发挥】
1．下列图形中哪些是中心对称图形？哪些不是中心对称图形？如果是，请在图中标明
对称中心．

2．(1)在第1题中，哪些图形既是中心对称图形又是旋转对称图形？
(2)如果一个旋转对称图形的最小旋转角为，那么n满足怎样的条件时，这个图形一定是中心对称图形？

题型二：中心对称
【例4】(1)在下图中，画出五边形ABCDE关于点0的中心对称图形．
(2)五边形ABCDE是不是旋转对称图形？为什么？

【例5】已知下列两个图形关于某点中心对称，画出对称中心．

【借题发挥】
1．请你画出“箭头”关于点O中心对称的图形．

2． △ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，请你描出对称中心O．

3.下列图形中，是旋转对称图形的，在图下的括号内写出旋转角的最小度数，是中心对称图形的，在括号内画“√”号.

（ ） （ ） （ ） （ ）
4.描出下列旋转对称图形的旋转中心，并在下面的括号内，写出旋转角的最小度数，是中心对称图形的，在括号内画“√”号．

5.下列旋转对称图形中，旋转角为任意度数的是（ ）．

6.下列图形中哪些是旋转对称图形，哪些是中心对称图形？请在图中标明旋转中心，是旋转对称图形的指出最小旋转角．

7.下列图形哪些是中心对称图形？在图形下面画“√”．

8.下列英文字母哪些是中心对称图形？在字母下面画“√”．

第四节：简单的图案设计
教学目标：
1. 欣赏生活中的轴对称图案，能分析它是由哪些简单几何图形组成的；
2. 能利用简单几何图形设计轴对称图案，体验数学活动乐趣，培养创新意识。
教学重点：能利用简单的几何图形设计轴对称图案。
教学难点：能利用简单的几何图形设计轴对称图案。
基础知识疏理

●知识点一：简单的图案的设计。
1. 利用平移、旋转和对称可以进行简单的图案设计。
2. 简单图案设计的步骤是：
（1）整体构思，确定主题。
（2）确定整幅图案的形状和基本图案的形状
（3）构思图案形成过程：首先构思图案由哪几部分组成。设想通过平移、旋转、轴对称等
变换形成图案的各部分。
（4）画出草图。
（5）具体做图。

典型例题：
题型一：简单的团设计
【例1】如图，这个图案可以看成是以“基本图案”----原图案的四分之一经过变换形成的，但一定不能通过（ ）变换得到。

A．旋转 B．轴对称 C．平移 D．轴对称和旋转
【例2】如图所示的图案是由某一个图案旋转而成的是（）

【例3】如图所示的各商标图案中，是利用平移来设计的有（）

A．2个 B.3个 C．5个 D．6个
【例4】要在一块长方形空地上修建一个花坛，要求花坛图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，下图所示的图案设计不符合要求的是（）
（用阴影部分表示花坛）

【例5】民族图案使数学文化中的一块瑰宝，如图所示的图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）