七年级数学竟赛辅导资料.doc

七年级数学竟赛辅导资料(1)
数的整除（一）
甲内容提要：
如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.
一些数的整除特征
除 数
能被整除的数的特征
2或5
末位数能被2或5整除
4或25
末两位数能被4或25整除
8或125
末三位数能被8或125整除
3或9
各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)

11
奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除
(如143,1859,1287,908270等)
7,11,13
从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)
能被7整除的数的特征：
　　①抹去个位数　　②减去原个位数的2倍　③其差能被7整除。
如　1001　　100－2＝98（能被7整除）
又如7007　　700－14＝686，　　68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：　　
①抹去个位数　　②减去原个位数　　　③其差能被11整除
如　1001　　　100－1＝99（能11整除）
又如10285　　1028－5＝1023　　102－3＝99（能11整除）
乙例题
例1已知两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除。
求x,y
解：x,y都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y=6.
∵328＋＝567，∴x=3
例2己知五位数能被12整除，　　求X
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，
　　当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8
　　当末两位能被4整除时，X＝0，4，8
　　　∴X＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
　但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行
　调整末两位数为30，41，52，63，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
丙练习
1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593　　②　1859　　③1287　④3276　⑤10101　⑥10296
2 若四位数能被3整除，那么 a=_______________
3 若五位数能被11整除，那么　X＝__________-
4 当　m=_________时，能被25整除
5 当 n=__________时，能被7整除
6 能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________
8 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________
9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？
11 己知五位数能被15整除，试求A的值。
12 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）

参考答案
1.④　22×32×7×3　⑤　3×7×13×37　⑥　23×32×11×13
2.　0，3，6，9　　　3.　0　　　4.　2，7　　　5.　3
6.　10010，9990　　　7.　9996，9992　　　　
8.　6：B　　8：F，G　　9：B，D　　11：G，H
9.　16；27
10.       没有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关
11.       仿例2，a＝5
12.       10269（由最小五位数10234调换末两位数）
13.       11111111100

七年级数学竞赛辅导资料（2）
　　　　　　 倍数　　约数
甲内容提要
1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。
3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7在有余数的除法中，
　被除数＝除数×商数＋余数　　若用字母表示可记作：
　A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2　　则23－2能被3整除。
乙例题　
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以
应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32　。
　解：列表如下
正整数

正约数
个
数
计
正整数

正约数
个数计
正
整
数

正约数
个数计

2
1，2

2

3
1，3

2

2×3
1，2，
3，6
4

22
1，2，4

3

32
1，3，32

3

22×3
1，2，3，
4，6，12
6

23
1，2，
4，8

4

33
1，3，
32，33

4

22×32
1，2，3，
4，6，9，
12，18，36
9

24
1，2，4，
8，16

5

34
1，3，32，
33，34

5

其规律是：设A＝ambn　(a，b是质数,m，n是正整数)
　　　　那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1)
例如求360的正约数的个数
解：分解质因数：360＝23×32×5，
　360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）
例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数
解：∵24＝23×3，90＝2×32×5
∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6
　最小公倍数是23×32×5＝360， 记作[24,90]=360
例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N
解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数
　∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6
经检验1和2不合题意，∴N＝6，3
例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数　
分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。
解：　∵[10,9,8]=360,　
　　∴所以所求的数是359
丙练习2
1， 12的正约数有_________,16的所有约数是_________________
2， 分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________
3， 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4， 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________
5， 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________
6， 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________
7， 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____
8， 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？
9， 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？

参考答案
1.　1，2，3，4，6，12；　　　±1，±2，±3，±6，±9，±18
2.　22×3×52；　18　　　3.　2×5；　22×53
4.　693　　　　　　　　　5.　［3，5，11］＝165，1155；990　
6.　A＝3　　即求14－2与23－2的公约数
7.　30，60，90
8.       （135，105）＝15，正约数有1，3，5，15　
9.       119。∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119

七年级数学竟赛辅导资料(3)
抽屉原则
甲内容提要
1， 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。
2， 如果用表示不小于的最小整数，例如＝3， 。那么抽屉原则可定义为：m个元素分成n个集合（m、n为正整数m>n）,则至少有一个集合里元素不少于个。　　
3， 根据的定义，己知m、n可求；
己知，则可求的范围，例如己知＝3，那么2＜≤3；己知＝2，则 1＜≤2，即3＜x≤6，x有最小整数值4。
乙例题
例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？
分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m（2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于个
解：∵5　　　　∴＝6
　答：至少有6名学生的生日是同一天
例2 从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。
解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。　
∵要在5个集合里取出6个数，
∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。
（本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。
例3 袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。
分析：我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于3个（有一个集合元素不少于3个）。
解：设至少应取出x个，用｛｝表示不小于的最小整数，那么
｛｝＝3，　∴2＜≤3，　即8＜x ≤12，　最小整数值是9。
答：至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。
例4 等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小于1，试说明理由。
解：取等边三角形各边中点，并連成四个小三角形（如图）它们边长等于1，
　　　　　∵5个点放入4个三角形，
　　　　　∴至少有2个点放在同一个三角形内，
　　　　　而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。
丙练习8
1， 初一年新生从全县17个乡镇招收50名，则至少有＿人来自同一个乡镇。
2， 任取30个正整数分别除以7，那么它们的余数至少有＿＿个是相同的。
3， 在2003m中，指数m任意取10个正整数，那么这10个幂的个位数中相同的至少于＿＿个.
4， 暗室里放有四种不同规格的祙子各30只，为确保取出的祙子至少有1双（2只同规格为1双）那么至少要取几只？若要确保10双呢？
5， 袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各6个，请你拿出一些球，要确保至少有4个同颜色，那么最少要取几个？
6， 任意取11个正整数，至少有两个它们的差能被10整除，这是为什么？

7， 右图有3行9列的方格，若用红、蓝两种颜色
涂上，则至少有2列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。
8， 任意取3个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。
9， 90粒糖果分给13个小孩，每人至少分1粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？
10，11个互不相同的正整数，它们都小于20，那么一定有两个是互质数。
　（最大公约数是1的两个正整数叫互质数）
11，任意6个人中，或者有3个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？

参考答案
1.　3　　2.　5　　3.　3　　　4.　5只，23只　　5.　12
6.∵正整数的个位数字只有0，1，2，…9共10个，……
7.       设1表示红色，2代表蓝色，每列3格用2种涂色，最多只有如下8种涂法，第9列必与前8种中的一种相同
1
1
1
1
2
2
2
2

1
1
2
2
2
2
1
1

1
2
1
2
2
1
2
1

8.       把正整数按奇数，偶数分为两个集合，3个正整数放入两个集合，必有一个集合中，有2个 是同奇数或同偶数，……
9.       如果我们给13人分配都不相同的粒数，∵1＋2＋…＋13＝91，而实际糖果只有90粒，∴必有1人要少分1粒，因而他一定与其余12人中的1个相同
10.    用A，B，C，D，E，F表示6个人。A与其他5个人的关系――相识或不相识两种，必有一种不少于3人，不妨设A与B，C，D3人都相识，这时，只B，C，D3人中有2人相识，则本题的结论就成立。若B，C，D3人都互不相识，那么结论也成立。所以……

七年级数学竞赛辅导资料(4)
一元一次方程解的讨论
甲内容提要
1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程　2x＋6＝0，　x（x-1）=0, 　 |x|=6, 　 0x=0, 　　0x=2的解
分别是：　　　x=－3, x=0或x=1, 　 x=±6, 所有的数，无解。
2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，
讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解　x=；　
当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）
3,　求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解
　当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；
当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b
乙例题
例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2)　①有唯一的解？②无解？
③有无数多解？④是正数解？
解：①当a≠0且a≠2 时，方程有唯一的解，x=
②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解；
③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解
④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=,∴只要a与4同号，
即当a>0且a≠2时，方程的解是正数。
例2 k取什么整数值时，方程
　　①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？
②（1－x）k=6的解是负整数？
解：①化为最简方程（k＋2）x=4
当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数
　∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。
②化为最简方程kx=k－6，
当k≠0时x==1－，
只要k能整除6,　即 k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数　
　当　k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
例3　己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a　无解。问a和b应满足什么关系？
解：原方程化为最简方程：　(a－b)x=b
∵方程无解，∴a－b=0且b≠0
∴a和b应满足的关系是a=b≠0。
例4　a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7，
　根据　0x＝0时，方程有无数多解，可知
当　时，原方程有无数多解。
解这个方程组得
　答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。
丙练习（9）
1, 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x+1)=0, 　　②x2=9,　　③|x|=9，　④|x|=－3,　
⑤3x+1=3x－1,　⑥x+2=2+x
2,关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________
3,在方程a(a－3)x=a中，
当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解；　　当a＿＿＿时无解；
　当a＿＿＿＿＿时,有无数多解；　　　　　当a＿＿＿＿时,解是负数。
4， k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？
① x= ②x= ③x= ④x=
5， k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？
6， m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？
7， 己知方程的根是正数，那么a、b应满足什么关系？
8， m取什么整数值时，方程的解是整数?
9， 己知方程有无数多解，求a、b的值。

参考答案
1. ①－1　②±3　③±9　④无解　⑤无解　⑥无数多个解
2. 　a=1 　　3. a≠3,a≠0；a=3；a=0；　a<3且a≠0
4.①　k=±1,±2,±4　②2，0，3，－1，4，－2，7，－5
③±1，±3　　　　④4，－5，0－2（）
5.　①k<0 ②k ≤0　　6.　①m=－1　②m＜－1 7. 2a+b>0
8. 化为最简方程mx=m+3, 当m=±1,±3时，有整数解
9.化为最简方程(3a－b)x=b+2
当时方程无解，解得

七年级数学竞赛辅导资料（5）
二元一次方程的整数解
甲内容提要
1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1,　 5x-2y=7,　 9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。
2， 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x== (1) ,
设是整数），则y=1-5k (2) ,　　
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是（k是整数）
方法二，公式法：
设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）
3， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值
② 用观察法直接写出。
乙例题
例1求方程5x－9y=18整数解的能通解
解x=
设（k为整数），y=3－5k,　代入得x=9－9k
∴原方程整数解是　（k为整数）
又解：当x=o时，y=－2，
∴方程有一个整数解它的通解是（k为整数）
　　从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2，求方程5x+6y=100的正整数解
解：x=(1)，
设(k为整数)，则y=5k,(2)
把（2）代入（1）得x=20-6k，
∵　解不等式组
得0＜k<,k的整数解是1，2，3，
∴正整数解是
例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得
3x+5y=38　（x,y都是正整数）
∵x＝1时，y=7，∴是一个整数解
∴通解是（k为整数）
解不等式组得解集是　　∴整数k=0，1，2
把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解
答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
丙练习10
1， 求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3
②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2,　求方程的正整数解：①5x+7y=87,　　　②5x+3y=110
3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,
④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.
6, 　一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？
7．　用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：
y=
1
4
－2

x=

参考答案
1. 公式法①由特解得通解（k为整数）
　　　　　②由特解得通解（为k整数）
整除法①∵x==-3y,……∴通解是（k为整数）
②通解是（k为整数）
2. ① ②　－……
3.　有6种截法
4.　16，13　　　5.　A，D. 　　 6.　12　　　7.（略）

七年级数学竞赛辅导资料（6）
用枚举法解题
甲内容提要
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：
① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
乙例题　　　　　　　　　　　　　　　1　
例1　如图由西向东走，
从A处到B处有几
种走法？
　　　　　　　　　　1 　
解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如　从A到C有三种走法，在C处标上3，　从A到M（N）有3＋1＝4种，　从A到P有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B，可得1＋1＋11＝13（种走法）
例2 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。
解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的项的顺序列出（如左）
解法二：按X→Y→Z→X的顺序轮换写出（如右）
　X4 ， X 4 ， Y4 ， Z4
　X3Y，　X3Z， X3Y ， Y3Z ， Z3X
　X2Y2， X2Z2， X2YZ， X3Z ， Y3X， Z3Y
XY3， XZ3， XY2Z， XYZ2， X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2
Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY
解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略)
例3 讨论不等式ax<b的解集。
解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表
ax<0的解集
b
正
负
零
a
正

负

零

当a>0时，解集是x<, 当a<0时，解集是x>,
当a=0,b>0时，解集是所有学过的数，
当a=0,b≤0时，解集是空集(即无解)
例4　如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数
解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，
再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计：
边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10　
边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在下的▽有：1
边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3
边长4单位，顶点在上的△有：1　　
合计共27个

丙练习13
1． 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿
2． a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3． xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿
4． 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。

A B C D E F
5.　写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。
6. 除以4余1 两位数共有几个？
7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？
8.　把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？
9.　右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从
A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 　
10.　列表讨论不等式ax>b的解集.
11.　一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，
则这个正整数的最小值是＿＿

参考答案
1.　8组　　2.　18组　　3.　9组　　4.　15条　　5.　10个
6.　22个（从13，17，…97）　
7.　25种
8.　1＋22＋32＋42＝30个，　55个，　385个
9.　70种
10. 当a>0时，x<； 当a<0时，x>；
当a=0,b≥0时，无解；当a=0,b<0时，有无数多个解。
11. 27

七年级数学竞赛辅导资料（7）
经验归纳法
甲内容提要
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如
①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，……，
归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。
②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），
三位数从 100 到 999 共900个（9×102），
四位数有9×103＝9000个（9×103），
…………
归纳出n 位数共有9×10n-1　(个)
③ 由1+3=22,　1+3+5=32,　1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2.　经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）

乙例题
例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
解：两条直线只有一个交点， 1 2
第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 3
第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3
第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4
………
第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点
由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），
这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×,　即个交点。

例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如
　5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数）
解：当n ＝1时，3n＝3,　（n＋1）！＝1×2＝2
当n ＝2时，3n＝9，　（n＋1）！＝1×2×3＝6
当n ＝3时，3n＝27,　（n＋1）！＝1×2×3×4＝24
当n ＝4时，3n＝81,　（n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120
当n ＝5时，3n＝243,　（n＋1）！＝6！＝720　　……
　猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。
例3　求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。
　分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。
　解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2
x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3
x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4
x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5
x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6
…………
由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解为x1=x2=x3＝……=x2001=1, 　x 2002=2，　x2003=2003。
丙练习14
1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。
2． 十进制的两位数可记作10a1＋a2,三位数记作100a1+10a2+a3,四位数记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿
3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n3=( )2。
4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①＝（＿＿＿）2；；－＝（　＿＿）2。
②＝（＿＿＿＿）2；＝（＿＿＿）2

5． 把自然数1到100一个个地排下去：123……91011……99100
① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少

6．计算＋＋＋…＋＝
　（提示把每个分数写成两个分数的差）

7．a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小.
8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然
后把宽3等分，把长8等分，分成24个
小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。
本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。
10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。
11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。

参考答案
1. 3，30，3×102，3×10n-1
2. 10n-1a1+10n-2a2_＋……+10an-1+an

4. ①333332, 　　　②，　
5.①192位，②901位（50个18，加上1）
6.　∵＝－　……　
7. a=1,2时，aa+1<(a+1)a ……
8. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)
9. 8,24,24,8；　
8，4×［（m－2）＋（n-2）+(p-2)］,2［（m-2）(n-2)+(m-2)］(p-2)+(n-2)(p-2)］,
(m-2)(n-2)(p-2)
10. 64,8 11. 3334

七年级数学竞赛辅导资料（8）
乘法公式
甲内容提要
1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2
立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b3
3.公式的推广：
① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）
…………
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律
③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4
(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5