《实变函数论》教学大纲.doc

实变函数论教学大纲
(Functions of Real Variable)

课程代码
218.114.1
编写时间

课程名称
实变函数论
英文名称
Functions of Real Variable
学分数
3
周学时
3+1
任课教师*
徐胜芝、黄昭波等
开课院系**
数学学院
预修课程

课程性质：
本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修。
基本要求和教学目的：
通过本课程的学习，学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质，深刻理解并掌握Lebesgue积分的理论，并在学习过程中形成抽象思维能力和逻辑推理能力的一个飞跃。
课程基本内容简介：
本课程主要是以n维Euclid空间及其上实值函数为背景，运用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，Rn中点集的拓朴，可测集和可测函数，积分理论，微分和不定积分。
教学方式: 课堂讲授+习题课训练
教材和教学参考资料：

作者
教材名称
出版社
出版年月
教材
夏道行
实变函数论与泛函分析（上册）
高等教育出版社
1984
自编讲义
实变函数与泛函分析

参考资料
那汤松
实变函数论
高等教育出版社
1958
Hewitt E., Stromberg K.
Real and Abstract Analysis
Springer-Verlag
1975

教学内容安排：
第一章 集合和Rn中的点集（10学时）
§1 集和集的运算（2学时）
§2 映射和势（4学时）
§3 Rn中的点集（4学时）
本章教学要求
熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉Rn的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
第二章 测度（12学时）
§1 外测度与可测集（4学时）
§2 测度及其性质（4学时）
§3 可测集类（4学时）
本章教学要求：
掌握外测度的概念，正确理解Caratheudory条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。

第三章 可测函数（10学时）
§1 可测函数及其基本性质（4学时）
§2 可测函数列的收敛（4学时）
§3 Lebesgue可测函数的结构（2学时）
本章教学要求：
熟练掌握可测函数的概念及其基本性质，正确理解并掌握可测函数列几种不同收敛的概念，通过对本章中几个基本定理证明过程的分析，深刻领会实分析中的点集分析方法。

第四章 积分（14学时）
§1 积分的基本概念及性质（4学时）
§2 积分的极限定理（4学时）
§3 重积分和Fubini定理（4学时）
§4 一般集上的测度和积分简介（2学时）
本章教学要求：
正确掌握积分的定义及其基本性质，牢固掌握并能熟练应用积分的Levi定理，Fatou定理，Lebesgue控制收敛定理，掌握乘积测度和重积分的概念，熟练掌握Fubini定理，了解一般集上的测度和积分理论概要。

第五章 导数与不定积分（8学时）
§1 有界变差函数及其导数（4学时）
§2 不定积分与全连续函数（4学时）
本章教学要求：
掌握有界变差函数与全连续函数的概念，掌握有界变差函数的可导性及其正规分解和Lebesgue分解，掌握Newton-Leibniz公式成立的充要条件。

三、附注
本课程可选择采用两种方案讲授，其一是直接建立一般的测度和积分理论，以Lebesgue测度与积分作为特例；其二是着重介绍Lebesgue测度和积分理论，而后简述一般测度论的结果，并引导有兴趣的学生自行深入讨论。

作业和考核方式：闭卷笔试

*如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。
**考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。