三角函数图像和性质知识讲解及例题分析.doc

中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）三角函数图像和性质知识讲解及例题分析三角函数图像和性质知识讲解及例题分析 了解三角函数的周期性，知道三角函数yAsin（x），yAcos（x）的周期为。能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（，）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。了解三角函数 yAsin（x+）的实际意义及其参数A，对函数图象变化的影响；会画出yAsin（x+）的简图，能由正弦曲线 ysinx通过平移、伸缩变换得到yAsin（x+）的图象。会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。中小学教育网课程推荐中小学教育网课程推荐 网络课程网络课程 小学：剑桥少儿英语 小学数学思维训练 初中：初一、初二、初三强化提高班 人大附中同步课程 高中：高一、高二强化提高班 全国高中数学联赛 人大附中同步课程 高考：高考全程辅导 高考专业介绍与报考指导 高考考前冲刺辅导 特色：网络 1 对 1 答疑 Q 版英语 人大附中校本选修课 竞赛：初中数学联赛 高中数学联赛 高中物理奥林匹克竞赛 高中化学奥林匹克竞赛 面授课程面授课程：中小学教育网学习中心面授班 中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4.由 ysinx 的图象变换出 ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 ysinx 的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得 ysin(x)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将 ysinx 的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0),再沿 x 轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得 ysin(x)的图象。5.由 yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式 y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.6.对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8.求三角函数周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9.五点法作 y=Asin（x+）的简图：中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）五点取法是设 x=x+，由 x 取 0、2 来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图。【典型例题】【典型例题】例 1.把函数 y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是 A.B.C.D.解：解：先写出向左平移 4 个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解.向左平移个单位后的解析式为 y=cos（x+），则 cos（x+）=cos（x+），cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）sinxsin（+）.sinxsin（+）=0，xR.+=k.=k0.k.k=2.=.答案：答案：B 例 2.试述如何由 y=sin（2x+）的图象得到 y=sinx 的图象.解：解：y=sin（2x+）中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）另法答案：另法答案：（1）先将 y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得 y=sin2x 的图象；（2）再将 y=sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变），得 y=sinx 的图象；（3）再将 y=sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍（横坐标不变），即可得到 y=sinx的图象.例 3.求函数 y=sin4x+2sinxcosxcos4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间.解：解：y=sin4x+2sinxcosxcos4x=（sin2x+cos2x）（sin2xcos2x）+sin2x=sin2xcos2x=2sin（2x）.故该函数的最小正周期是；最小值是2；单调递增区间是0，.点评点评：把三角函数式化简为 y=Asin（x+）+k（0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）例 4.已知电流 I 与时间 t 的关系式为。（1）下图是（0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；（2）如果 t 在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解：解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力（1）由图可知 A300 设 t1，t2，则周期 T2（t2t1）2（）150 又当 t时，I0，即 sin（150）0，而，故所求的解析式为 （2）依题意，周期T，即，（0）中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）300942，又N*，故最小正整数943 点评：点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言。其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。例 5.（1）y=cosx+cos（x+）的最大值是_；（2）y=2sin（3x）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_.解：解：（1）y=cosx+cosxsinx=cosxsinx=（cosxsinx）=sin（x）.所以ymax=.（2）T=，相邻对称轴间的距离为.答案：答案：例 6.（1）已知f（x）的定义域为0，1，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域.分析：分析：求函数的定义域：（1）要使 0cosx1，（2）要使 sin（cosx）0，这里的 cosx以它的值充当角.解：解：（1）0cosx12kx2k+，且x2k（kZ Z）.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）所求函数的定义域为xx2k，2k+且x2k，kZ Z.（2）由 sin（cosx）02kcosx2k+（kZ Z）.又1cosx1，0cosx1.故所求定义域为xx（2k，2k+），kZ Z.点评：点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.例 7.求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值.分析：分析：将原函数化成y=Asin（x+）+B的形式，即可求解.解：解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4xsin2xcos2x+cos4x）=13sin2xcos2x=1sin22x=cos4x+.T=.当 cos4x=1，即x=（kZ Z）时，ymax=1.例 8.判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）.分析：分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f（x）与f（x）的关系.解：解：定义域为 R R，又f（x）+f（x）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）为奇函数.评述：评述：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）例 9.求下列函数的单调区间：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）.分析：分析：（1）要将原函数化为y=sin（x）再求之.（2）可画出y=|sin（x+）|的图象.解：解：（1）y=sin（）=sin（）.故由 2k2k+3kx3k+（kZ Z），为单调减区间；由 2k+2k+3k+x3k+（kZ Z），为单调增区间.递减区间为3k，3k+，递增区间为3k+，3k+（kZ Z）.（2）y=|sin（x+）|的图象的增区间为 k+，k+，减区间为 k，k+.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）例 10.已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.剖析：剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.解：解：由 cos2x0 得 2xk+，解得x+（kZ Z）.所以f（x）的定义域为x|xR R 且x+，kZ Z.因为f（x）的定义域关于原点对称，且 f（x）=f（x），所以f（x）是偶函数.又当x+（kZ Z）时，f（x）=3cos2x1，所以f（x）的值域为y|1y或y2.例 11.已知为的最小正周期，且。求的值。解：解：因为为的最小正周期，故。中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）因，又。故。由于，所以 1.数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的.2.作函数的图象时，首先要确定函数的定义域.3.对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.4.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化.5.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为 1 的形式，否则很容易出现错误.6.函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小.7.判断y=Asin（x+）（0）的单调区间，只需求y=Asin（x+）的相反区间即可，一般常用数形结合.而求y=Asin（x+）（0的单调区间时，则需要先将x的系数变为正的，再设法求之.【模拟试题】【模拟试题】1.在（0，2）内，使 sinxcosx成立的x的取值范围是 中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）2.已知函数y=tan（2x+）的图象过点（，0），则可以是 A.B.C.D.3.函数y=sin（2x）+sin2x的最小正周期是 A.2 B.C.D.4 4.若f（x）=sinx是周期为 的奇函数，则f（x）可以是 A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 5.函数y=2sin（2x）（x0，）为增函数的区间是 A.0，B.，C.，D.，中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）6.把y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数_的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，而纵坐标保持不变，得到函数_的图象.7.函数y=lg（cosxsinx）的定义域是_.8.f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为实常数）在区间0，上的最小值为4，那么a的值等于 A.4 B.6 C.4 D.3 9.已知x,，函数y=cos2x-sinx+b+1 的最大值为,试求其最小值.10.关于函数f（x）=sin2x（）|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的个数为f（x）是奇函数 当x2003 时，f（x）恒成立 f（x）的最大值是 f（x）的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 11.定义在 R R 上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sinx，则f（）的值为 A.B.C.D.12.函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为 A.B.C.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）D.2 13.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数 A.（，）B.（，2）C.（，）D.（2，3）14.为了使y=sinx（0）在区间0，1上至少出现 50 次最大值，则的最小值是 A.98 B.C.D.100 15.已知P（1，cosx），Q（cosx，1），x，.（1）求向量和的夹角的余弦用x表示的函数f（x）；（2）求的最值.【参考【参考答案】答案】1.C 2.解析：将（，0）代入原函数可得，tan（+）=0，再将 A、B、C、D 代入检验即可。答案：A 3.解析：y=cos2xsin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=。答案：B 4.B 5.解析：由 y=2sin（2x）=2sin（2x）其增区间可由 y=2sin（2x）的减区间得到，即 2k+2x2k+，kZ.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）k+xk+，kZ.令 k=0，故选 C.答案：C 6.解析：向左平移个单位，即以 x+代 x，得到函数 y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，即以x 代 x，得到函数：y=sin（x+）.答案：y=sin（x+）y=sin（x+）7.解析：由 cosxsinx0cosxsinx.由图象观察，知 2kx2k+（kZ）.答案：2kx2k+（kZ）8.解析：f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1.x0，2x+，.f（x）的最小值为 2（）+a+1=4.a=4.答案：C 9.解：y=2（sinx+）2+b，又1sinx，当 sinx=时，ymax=+b=b=1；当 sinx=时，ymin=.10.解析：显然 f（x）为偶函数，结论错.对于结论，当 x=1000 时，x2003，sin21000=0，f（1000）=（）1000，因此结论错.又 f（x）=（）|x|+=1cos2x（）|x|，1cos2x1，中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）1cos2x.故 1cos2x（）|x|，即结论错.而 cos2x，（）|x|在 x=0 时同时取得最大值，所以 f（x）=1cos2x（）|x|在 x=0 时可取得最小值，即结论是正确的.答案：A 11.解析：f（）=f（2）=f（）=f（）=sin=.答案：D 12.解析：y=sin4x+cos2x=（）2+=+=cos4x+.故最小正周期 T=.答案：B 13.C 14.解析：49T1，即1，.答案：B 15.解：（1）=2cosx，|=1+cos2x，f（x）=cos=.中小学教育网 24 小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 面授中心热线：010-82501115 中小学教育网（）汇集百所国家级示范校的近千名知名教师，面向中小学生提供课外辅导，教学方式包括网络视频教学、小班面授教学、1 对 1 个性化辅导等。总部总部地址地址：北京市海淀区知春路 1 号，学院国际大厦 面授中心：面授中心：北京市海淀区中关村大街 37 号人大附中向南 200 米 咨询咨询电话：电话：[phone] 500 666(全天 24 小时服务)面授中心咨询电话：面授中心咨询电话：[phone]（面向北京地区招生）（2）cos=，x，cosx，1.2cosx+，f（x）1，即cos1.max=arccos，min=0.中小学教育网（）编辑整理，转载请注明出处！