考点跟踪训练26圆的基本性质.doc

考点跟踪训练26　圆的基本性质
一、选择题
1．(2011·上海)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3 ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是(　　)
A. 点B、C均在圆P外
B. 点B在圆P外、点C在圆P内
C. 点B在圆P内、点C在圆P外
D．点B、C均在圆P内
答案　C
解析　如图，AB＝8，BP＝3AP，得BP＝6，AP＝2.在Rt△APD中，PD＝＝7>BP，所以点B在圆P内；在Rt△BPC中，PC＝＝9>PD，所以点C在圆P外．

2．(2011·凉山)如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为(　　)

A．50° B．80°或50°
C．130° D．50° 或130°
答案　D
解析　当点C在优弧上，∠ACB＝∠AOB＝50°；当点C在劣弧上，∠ACB＝180°－50°＝130°.综上，∠ACB＝50°或130°.

3．(2011·重庆)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于(　　)

A．60° B．50°
C．40° D．30°
答案　B
解析　在△OBC中，OB＝OC，∠OCB＝40°，
∴∠BOC＝180°－2×40°＝100°.
∴∠A＝∠BOC＝×100°＝50°.

4．(2011·绍兴)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是(　　)

A．16 B．10
C．8 D．6
答案　A
解析　在Rt△OBC中，OB＝10，OC＝6，
∴BC＝＝8.
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC.
∴AB＝2BC＝2×8＝16.

5．(2011·嘉兴)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
答案　A
解析　作弦心距OC，得AC＝BC＝×16＝8.连接AO，在Rt△AOC中，OC＝＝6.
二、填空题

6．(2011·扬州)如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝__________度．

答案　40
解析　∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠B＝90°－∠BAD＝90°－50°＝40°.
∴∠ACD＝∠B＝40°.

7．(2011·安徽)如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是________________．

答案　
解析　画OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N，连接OD.

∵AB＝CD，
∴OM＝ON.
易证四边形OMEN是正方形．
∵CN＝DN＝CD＝×(1＋3)＝2，
∴EN＝CN－CE＝2－1＝1.
∴ON＝1.
∴在Rt△DON中，OD＝＝.

8．(2011·杭州)如图，点A、B、C、D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝________.

答案　48°
解析　∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO.
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＋∠CAO＝∠ACD＋∠ACO＝∠DCO.
在△CDO中，OC＝OD，∠COD＝84°，
∴∠DCO＝＝48°，即∠ABD＋∠CAO＝48°.

9．(2011·威海)如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，BE＝1，CD＝4 ，则∠AED＝___________.

答案　30°

解析　连接DO，画OF⊥CD，垂足是F.

∴CF＝DF＝CD＝×4 ＝2 .
∵AB＝AE＋BE＝5＋1＝6，
∴DO＝AB＝3.
在Rt△DFO中，OF＝＝1，
在Rt△OFE中，OE＝3－1＝2，OF＝1.∴∠AED＝30°.
10．(2011·舟山)如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正确结论的序号是_______．
答案　①④

解析　∵OC⊥AB，∴A＝B＝90°.
∵AD平分∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAD，＝＝45°.
∴∠CAB＝45°，
∠DOB＝45°，
∴∠CAD＝∠DOB，AC∥OD；
在△ACO中，AC>AO，AE平分∠CAO，∴CE≠EO；
由AC∥OD，得△ODE∽△CAE，而∠CAD＝∠BAO，∠ACE≠∠AOD，∠AEC≠∠AOD.∴△ACE与△ADO不相似，即△ODE与△ADO不相似；
连接BD，有BD＝CD，可求得∠B＝67.5°，又∵∠CED＝∠AEO＝67.5°，∴∠B＝∠CED.又∵∠CDE＝∠DOB＝45°，∴△CDE∽△DOB，＝，CD·DB＝CE·DO，∴CD2＝CE·，即2CD2＝CE·AB.
故结论①、④正确．
三、解答题

11．(2011·上海)如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与A相交于点M、N.
(1)求线段OD的长；
(2)若tan∠C＝，求弦MN的长．

解　(1)∵CD∥AB，
∴∠OAB＝∠C，∠OBA＝∠D.
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
∴∠C＝∠D.
∴OC＝OD.
∵OA＝3，AC＝2，
∴OC＝5.
∴OD＝5.

(2)过点O作OE⊥CD，E为垂足，连接OM.
在Rt△OCE中，OC＝5，tan∠C＝，设OE＝x，则CE＝2x.由勾股定理得x2＋(2x)2＝52，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
∴OE＝.
在Rt△OME中，OM＝OA＝3，
∴ME＝＝＝2.
∴MN＝2ME＝4.

12．(2011·江西)如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2 ，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．

(1)求∠BAC的度数；
(2)求△ABC面积的最大值．
(参考数据：sin60°＝，cos30°＝，tan30°＝.)
解　(1) 解法一：
连接OB、OC，过O作OE⊥BC于点E(如图)．

∵OE⊥BC，BC＝2 ，
∴BE＝EC＝.
在Rt△OBE中，OB＝2，
∵sin∠BOE＝＝，
∴∠BOE＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝∠BOC＝60°.

解法二：
连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD.(如图)
∵BD是直径，
∴BD＝4，∠DCB＝90°.
在Rt△DBC中，
sin∠BDC＝＝＝，∴∠BDC＝60°，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°.
(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处．

如图，过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点．连接AB、AC，则AB＝AC，∠BAE＝∠BAC＝30°.
在Rt△ABE中，
∵BE＝，∠BAE＝30°，
∴AE＝＝3，
∴S△ABC＝×2 ×3＝3 .
答：△ABC面积的最大值是3 .
13．(2011·德州)
●观察计算
当a＝5，b＝3时， 与的大小关系是__________________；
当a＝4，b＝4时， 与的大小关系是__________________．
●探究证明

如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD＝a，BD＝b.

(1)分别用a、b表示线段OC、CD；
(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系(用含a、b的式子表示)．
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：________________________.
●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

解　观察计算：
>；＝.
探究证明：
(1)∵AB＝AD＋BD＝2OC，
∴OC＝.
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD.
∴△ACD∽△CBD.
∴＝.
即CD2＝AD·BD＝ab，
∴CD＝.
(2)当a＝b时，OC＝CD, ＝；
a≠b时，OC>CD, >.
结论归纳： ≥.
实践应用：
设长方形一边长为x米，则另一边长为米，设镜框周长为l米，则l＝2(x＋) ≥4 ＝4 .
当x＝，即x＝1(米)时，镜框周长最小．
此时四边形为正方形时，周长最小为4 米．

14．(2011·肇庆)已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD.

(1)求证：∠DAC ＝∠DBA；
(2)求证：P是线段AF的中点；
(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝，求tan∠ABF的值．
解　(1)证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA.
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD.
∴∠DAC ＝∠DBA.
(2)证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90°.
∴∠ADE ＋∠EDB＝∠ABD＋∠EDB＝90°.
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP.∴PD＝PA.
又∵∠DFP ＋∠DAC＝∠ADE ＋∠PDF＝90°，
且∠ADE＝∠DAC，
∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF.
∴PA＝PF，即P是线段AF的中点．
(3)解：∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°，
∴△FDA ∽△ADB，
∴＝.
∴在Rt△ABD 中，
tan∠ABD＝＝＝＝，即tan∠ABF＝.
15．(2011·广州)如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．
(1)证明：B、C、E三点共线；
(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝OM；
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(00<α<900)后，记为△D1CE1(图2)，若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝OM1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

解　(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB＝90°.
∵ ∠DCE＝90°，
∴∠ACB＋∠DCE＝180°，
∴ B、C、E三点共线．
(2)证明：如图，连接ON、AE、BD，延长BD交AE于点F.

∵ ∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∴ BC＝AC.
又∠ACB＝∠DCE＝90°，DC＝EC，
∴ △BCD≌△ACE.
∴ BD＝AE，∠DBC＝∠CAE.
∴∠DBC＋∠AEC＝∠CAE＋∠AEC＝90°.
∴ BF⊥AE.
∵ AO＝OB，AN＝ND，
∴ ON＝BD，ON∥BD.
∵ AO＝OB，EM＝MB，
∴ OM＝AE，OM∥AE.
∴ OM＝ON，OM⊥ON.
∴ ∠OMN＝45°.
又 cos∠OMN＝，∴ MN＝OM.
(3) M1N1＝OM1成立，证明同(2)．