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不等式中的数学方法
河南 冯忠
一、“类比思想”掌握一元一次不等式
一 元 一 次 方 程
一 元 一 次 不 等 式
定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程．
定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．
性质：
（1）方程的两边都加上（或减去）同一个整式，方程的解不变．
（2）方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的整式，方程的解不变．
性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等好的方向不变．
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
解方程：
解：去分母，得

去括号，得

移项，得

合并同类项，得

两边同除以—1，得

解不等式：
解：去分母，得

去括号，得

移项，得

合并同类项，得

两边同除以—1，得

解方程和解不等式的步骤相同，但在最后一步系数化一时，如果两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．
二、“分类讨论”解含字母的一元一次不等式
在解答一些数学问题时，有时需要按某一标准把问题分成若干部分或情况，分别加以研究并逐一解答，从而得到清楚完整的结果，这就是分类讨论思想．
例1：解关于x的不等式
解：由题意，得.
因为的系数的符号不确定，所以要分类讨论：
（1）当，
（2）当，
（3）当，不等式无解．
三、“整体思想”巧定取值范围
根据不同的需要把问题中的某个部分看作一个整体，进而解决问题，这就是整体思想．
②
①
例2：若方程组 的解为、，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解： ②—①，得
所以
因为
所以
解得．故选B.
四、“数形结合思想”表示解集
借助数轴直观表示出一元一次不等式（组）的解集，所体现的是数形结合的思想．借助这种思想往往可以化难为易，化繁就简．
例3. 若不等式组有解，则的取值范围是（ ）
分析：借助数轴，在数轴上分段取值易的结论．
○●
●
●
m
1
2

（1）.当时，由图可知满足不等式组有解；
○●
●
●
m
1
2

○●
●
●
m
1
2
（2）当时，由图可知满足不等式组有解；

（3）当时，由图可知时，使不等式组无解；
所以的取值范围是
五、“转化思想”化难为易
由难化易，由繁化简，由未知转化为已知，体现出便于转化的数学思想．
例4. 先阅读理解下列例题，再按要求完成作业
例：解一元二次不等式
解：因为
所以由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有
（1） 或 （2）
解不等式（1）得
解不等式（2）得
所以一元二次不等式的解集为：
或.