考点跟踪训练21三角形与全等三角形.doc

考点跟踪训练21　三角形与全等三角形
一、选择题
1．(2011·大理)三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是(　　)
A．9 B．11 C．13 D．11或13
答案　C
解析　方程x2－6x＋8＝0的两根为2和4，只有4与3、6可组成三角形，其周长为4＋3＋6＝13.
2．(2011·济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶6，那么这个三角形是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案　B
解析　这个三角形的最大角为×180°＝×180°＝84°，是锐角．
3．(2011·连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是(　　)

答案　C
解析　三角形最长边是12，过其所对角的顶点作这边的垂线段，可知C是正确的．
4．(2011·怀化)如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是(　　)

A．∠A>∠1>∠2
B．∠2>∠1>∠A
C．∠A>∠2>∠1
D．∠2>∠A>∠1
答案　B
解析　∠2是∠1所在三角形中与∠1不相邻的外角，所以∠2>∠1，同理∠1>∠A，故∠2>∠1>∠A.

5．(2011·宿迁)如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是(　　)
A．AB＝AC 　　　B．BD＝CD
C．∠B＝∠C 　　　D．∠BDA＝∠CDA

答案　B
解析　当∠1＝∠2，AD＝AD，BD＝CD时，边边角不一定能使两个三角形全等．
二、填空题
6．(2011·丽水)已知三角形的两边长为4,8，则第三边的长度可以是______(写出一个即可)．
答案　答案不唯一，在4<x<12之间的数都可．

7．(2011·绵阳)如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO＝PO，若∠C＝50°，则∠A＝______.

答案　25°
解析　因为AB∥CD，所以∠POB＝∠C＝50°.又AO＝PO，得∠A＝∠P，由∠A＋∠P＝∠POB，可知2∠A＝50°，∠A＝25°.

8．(2011·无锡)如图，在△ABC中，AB＝5 cm，AC＝3 cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为__________cm.

答案　8
解析　因为DE垂直平分BC，所以DB＝DC，故△ACD的周长AC＋AD＋DC＝AC＋AD＋DB＝AC＋AB＝5＋3＝8 cm.

9．(2011·大理)如图，AB＝AD，∠1＝∠2，请你添加一个适当的条件，使得△ABC≌△ADE，则需添加的条件是________(只要写出一个即可)．

答案　∠D＝∠B，或∠DEA＝∠C，或AE＝AC等．

10．(2011·江西)如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°.有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG∶DE＝∶4，其中正确结论的序号是__________．

答案　①②③④
解析　∵∠DAB＝30°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°，∠AFB＝90°，AF⊥BC；由AD＝AC，∠D＝∠C＝60°，∠DAB＝∠CAE＝30°，可证得△ADG≌△ACF；在Rt△ABF中，∠B＝30°，可知AF＝AB＝AE＝EF，EF⊥BC，所以BC垂直平分AE，连AO，则有OA＝OE，∠OAE＝∠E＝30°，∠OAC＝∠C＝60°，△AOC是等边三角形，OC＝AC＝BC，O为BC中点；设DG＝k，则有AG＝k，EG＝3k，DE＝4k，故AG∶DE＝∶4k＝∶4，综上，①②③④均正确．
三、解答题

11．(2011·东莞)已知：如图，E、F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B.
求证：AE＝CF.

解　∵AD∥CB，
∴∠A＝∠C.
又∵AD＝CB，∠D＝∠B，
∴△ADF≌△CBE.
∴AF＝CE.
∴AF＋EF＝CE＋EF，
即AE＝CF.

12．(2011·菏泽)已知：如图，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的平分线．求证：AB＝DC.

证明　∵BD平分∠ABC，CA平分∠DCB，
∴∠ACB＝∠DCB，∠DBC＝∠ABC.
∵∠ABC＝∠DCB，
∴∠ACB＝∠DBC.
在△ABC与△DCB中，

∴△ABC≌△DCB，
∴AB＝DC.

13．(2011·江津)在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．

解　(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF, AB＝BC，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
(2)解：∵AB＝BC, ∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∵∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°，
由(1)得Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝45°＋15°＝60°.

14．(2011·扬州)已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

解　(1)证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
又∵BC＝BC，
∴△BEC≌△CDB.
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
(2)解：点O在∠BAC的角平分线上．理由如下：

∵△BEC≌△CDB，∴BD＝CE.
∵OB＝OC，∴OD＝OE.
又∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
15．(2011·邵阳)数学课堂上，徐老师出示一道试题：

如图所示，在正三角形ABC中，M是BC边(不含端点B、C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN＝60°，求证：AM＝MN.
(1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．
证明：在AB上截取EA＝MC，连接EM，得△AEM.
∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2.
又CN平分∠ACP，∠4＝∠ACP＝60°，
∴∠MCN＝∠3＋∠4＝120°.①
又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM.
∴△BEM为等边三角形．∴∠6＝60°.
∴∠5＝180°－∠6＝120°.②
∴由①②得∠MCN＝∠5.
在△AEM和△MCN中，
________________________________________________________________________
∴△AEM≌△MCN(ASA)．∴AM＝MN.
(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形

A1B1C1D1”(如图)，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1＝90°时，结论A1M1＝M1N1是否还成立？(直接写出答案，不需要证明)
(3)若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn＝________°时，结论AnMn＝MnNn仍然成立？(直接写出答案，不需要证明)
解　(1)∠1＝∠2，AE＝MC，∠MCN＝∠5.
(2)成立. 在A1B1上截取A1H＝M1C1，连接M1H，易证△A1M1H≌△M1N1C1.
(3)∠AMN＝60°＝×180°，
∠A1M1N1＝90°＝×180°，
∠AnMnNn＝×180°.