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浅析无理型函数值域的几种常规求法
一、观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。
例1．求函数y＝3＋值域。
解：∵≥2，∴函数值域为[5，+。
二、单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。
例2．求函数y＝x－的值域。
　　解：函数的定义域为，函数y=x和函数y＝－在上均为单调递增函数，故y≤＝，
因此，函数y＝x－的值域是(-∞，]。
三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。
例3．求函数y＝x+的值域 。
解：定义域为x ∈，令t＝ (t≥0)，则x＝
于是y＝－(t－1)2＋1，由t≥0知函数的值域为﹙－∞，１]。
本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。

对于形如“”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原函数转化为t的二次函数，当然也适用于“”的函数。
例4. 求函数的值域。
解：令，则且，则
。当，即时，，当时，。故函数值域为。
另外对于根号下的是2次的，我们同样可以处理：
例5．求函数y＝x+的值域。
解：∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，∴设x＝cos，∈［0，］
则y＝cos+sin＝sin（+），
∵∈［0，］，∴+∈［，］，∴sin（+）∈［－，1］，
∴sin（+）∈［－1，］，∴函数y＝x+的值域为［－1，］。
其次如果有两个根号的话，我们也可以处理：
例6. 求函数的值域。
解：由，得。
令且，
则。
由，得，
则，故函数的值域为。

对于形如“”的函数, 此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换，且，即可化为型的函数。

四、配方法 ：通过平方或换元化为形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数，借助配方法求函数的值域，要注意x的取值范围。
例7．求函数y＝的值域。
解：∵1－x≥0，且x≥0，∴ 0≤x≤1，又y＞0，
∴y2＝x+1－x+2＝1+2
令t＝－x2+x＝－（x－）2+，∵0≤x≤1，∴0≤t≤，∴0≤≤，∴y2∈［1，2］，
∴函数y＝的值域为［1，］。
五、数形结合法：利用函数解析式的几何意义，把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。
　　例8．求函数f(x)＝－的值域。
解：f(x)＝－＝－
f(x)表示动点P(x，0)到点A(－1，2)与点B(－1，1)的距离之差，求f(x)的值域就转化为求
P(x，0)到点A(－1，2)与点B(－1，1)的距离之差的范围问题（如图），
∵|PA|－|PB|≤|AB|(当且仅当P、A、B共线时取等号)，∴|PA|－|PB|≤1，即f(x)≤1，
∴f(x)＝－的值域是。
高中数学无理函数值域的常见求法
一、形如“”的函数
例1. 求函数的值域。
解：令，则且，则
。当，即时，，当时，。故函数值域为。
说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原函数转化为t的二次函数，当然也适用于“”的函数。

二、形如“”的函数
例2. 求函数的值域。
解：由。令且[]，则。
由，得。
当时，；
当时，。
故函数值域为。
说明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又且的函数定义域一定为闭区间，如，则可作三角代换为
且，即可化为＋k型函数。至于且及其他类型，可自己分析一下。

三、形如“”的函数
例3. 求函数的值域。
解：由，得。
令且，
则。
由，得，
则，故函数的值域为。
说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换，且，即可化为型的函数。

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