浅析无理型函数值域的几种常规求法.doc

浅析无理型函数值域的几种常规求法 一、观察法：通过对函数定义域及其解析式的分析，从而确定函数值域。例1求函数y3值域。解：2，函数值域为5，+。二、单调性法：如果函数在某个区间上具有单调性，那么在该区间两端点函数取得最值。例2求函数yx的值域。 解：函数的定义域为，函数y=x和函数y在上均为单调递增函数，故y，因此，函数yx的值域是(-，。三、换元法：通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数转化为代数函数来求函数值域的方法。 例3求函数yx+的值域 。解：定义域为x ，令t (t0)，则x于是y(t1)21，由t0知函数的值域为，。本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围。对于形如“”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原函数转化为t的二次函数，当然也适用于“”的函数。例4. 求函数的值域。 解：令，则且，则。当，即时，当时，。故函数值域为。另外对于根号下的是2次的，我们同样可以处理：例5求函数yx+的值域。解：1x20，1x1，设xcos，0，则ycos+sinsin（+），0，+，sin（+），1，sin（+）1，函数yx+的值域为1，。其次如果有两个根号的话，我们也可以处理：例6. 求函数的值域。 解：由，得。 令且， 则。 由，得， 则，故函数的值域为。对于形如“”的函数, 此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换，且，即可化为型的函数。四、配方法 ：通过平方或换元化为形如y=ax2+bx+c(a0)的函数，借助配方法求函数的值域，要注意x的取值范围。 例7求函数y的值域。解：1x0，且x0， 0x1，又y0，y2x+1x+21+2令tx2+x（x）2+，0x1，0t，0，y21，2，函数y的值域为1，。五、数形结合法：利用函数解析式的几何意义，把求函数值域的问题转化为求直线的斜率或距离的范围问题。 例8求函数f(x)的值域。解：f(x)f(x)表示动点P(x，0)到点A(1，2)与点B(1，1)的距离之差，求f(x)的值域就转化为求P(x，0)到点A(1，2)与点B(1，1)的距离之差的范围问题（如图），|PA|PB|AB|(当且仅当P、A、B共线时取等号)，|PA|PB|1，即f(x)1，f(x)的值域是。高中数学无理函数值域的常见求法一、形如“”的函数 例1. 求函数的值域。 解：令，则且，则。当，即时，当时，。故函数值域为。 说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原函数转化为t的二次函数，当然也适用于“”的函数。二、形如“”的函数 例2. 求函数的值域。 解：由。令且，则。 由，得。 当时，； 当时，。 故函数值域为。 说明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又且的函数定义域一定为闭区间，如，则可作三角代换为且，即可化为k型函数。至于且及其他类型，可自己分析一下。三、形如“”的函数 例3. 求函数的值域。 解：由，得。 令且， 则。 由，得， 则，故函数的值域为。 说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换，且，即可化为型的函数。 5