电磁场数学方法-复变函数论教学提纲.ppt

电子科技大学,电磁场数学方法课程组,电磁场数学方法,第一篇 复变函数论,电磁场数学方法-复变函数论,第一篇 复变函数论,第一篇 复变函数论,复变函数论是数学中一个,基本的分支学科,研究对象：变量为复数的,函数,主要任务：研究复变函数之间的,相互依赖关系,，具体地就是复数域上的,微积分,。,应用领域：求解物理学上,复杂场分布,问题,复数：,实数,和,虚数,的总称。,课程意义,第一篇 复变函数论,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。,为使,负数开方,有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。,到十八世纪，J.D,Alembert,(1717-1783)与L.,Euler,(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。,复变函数论发展历程,第一篇 复变函数论,复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。,A.L.Cauchy,（1789-1866)和,K.Weierstrass,(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，,G.F.B.Riemann,(1826-1866)研究复变函数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学、流体力学和,电磁学,等方面也得到了很多的应用。,二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。,复变函数论发展历程,第一篇 复变函数论,复变函数的路径积分方法,课程核心,复变函数中许多概念、理论、和方法是,实变函数,在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处，但又有不同之处。在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。,学习方法,1.2 复变函数,1.3 复变函数的导数,1.4 解析函数,1.1 复数与复数运算,1.5 单值函数与多值函数,第一章 复变函数,第一篇 复变函数论,对于任意两个,实数,x、y，称 为复数。,其中：,x称为复数的,实部,，,y称为复数的,虚部,，,称为,虚单位,。,（一）复数的概念,1.1 复数与复数运算,1、复数定义,全体复数在引入复数运算法则后，构成复数域。,在复数域中，复数没有大小的概念,。,注：,第一章 复变函数,2、复数的模与幅角,复数的模:,复数的辐角:,复数几何表示,复数几何意义：,实部与虚部可与,平面坐标点,建立,一一对应,关系。,复数的,三角表示,：,1.1 复数与复数运算,（一）复数的概念,1）当z=0时，幅角无意义；,其中，满足,注：,关于幅角的几点说明：,2）根据三角函数周期性，一个复数有无限多个幅角,或,的幅角称为,主幅角,，记做：,1.1 复数与复数运算,（一）复数的概念,3、复数的指数表示,欧拉公式：,则：,指数表示,3）,2）,4）,1.1 复数与复数运算,注：,1）,（一）复数的概念,共轭复数：,4、复数的共轭,1.1 复数与复数运算,注：,（一）复数的概念,（二）复数的运算,1、复数的加减法,1）,2）,1.1 复数与复数运算,注：,2、复数的乘法,利用复数指数形式进行乘法运算比较简单,指数式：,1.1 复数与复数运算,（二）复数的运算,注：,3、复数的除法,指数式：,注：,利用复数指数形式进行除法运算比较简单,1.1 复数与复数运算,（二）复数的运算,1）,2）,3）,1.1 复数与复数运算,（二）复数的运算,注：,4)复数的运算满足交换律、结合律、分配律。,例：若 ，求,w。,1.1 复数与复数运算,解：,故 的主幅角有n个，即对应有n个值：,它们在以坐标原点为中心，半径为 的圆周上均匀分布多值函数。,例：讨论式子 在复平面上的意义,解：,为,圆上各点,令,1.1 复数与复数运算,例：求方程,sinz=2,解：,设,1.1 复数与复数运算,或,或,（续上）,1.1 复数与复数运算,复习,实变函数中关于函数的定义：,1.2 复变函数,设X、Y是两个非空实数集合，f为X到Y的一个映射，则称f为定义在数集X上的函数，记做：,其中x称为自变量，y称为因变量，X称为函数f的,定义域,。,（一）区域的概念,由,确定的平面点集，称为定点,z,0,的,邻域,邻域：,内点：,若,z,0,及其,邻域,全含于,点集E内，称,z,0,为点集E的内点,外点：,若,z,0,及其,邻域,不含于,点集E内，称,z,0,为点集E的外点,1、几个定义,1.2 复变函数,边界点:,若,z,0,及其,邻域,既有含于,E内，又,有不含于,E内的点，称,z,0,为点集E的边界点。,内点,边界点,外点,（一）区域的概念,1.2 复变函数,2、区域,A）,全由内点组成,B）,具连通性,：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点,属于,该点集。,复变函数的宗量z在复平面上的满足下述条件的定义域（点集），称为,区域,：,闭区域：,区域,B,连同它的边界,称为闭区域，表示为,表示以原点为圆心半径为1的闭区域,（一）区域的概念,1.2 复变函数,如：,3、区域连通性的分类,设D为平面区域,如果D内,任一闭曲线,所围成的部分,都属于,D,则称D为平面,单连通,区域,否则称为,复连通,区域.,复连通区域,单连通区域,D,D,（一）区域的概念,1.2 复变函数,若复数平面中存在的点集E，对于E的每一个点（复数 ），均按照,某种规律,，有,一个,或,多个,复数值 与之对应，则称 为 的复变函数。,1.2 复变函数,（二）复变函数的定义,z,称为,w,的,宗量,，E称为函数,定义域,其中：,记做：,二元实函数,（三）复变函数例,几个常见初等函数定义式：,1.2 复变函数,复变函数的周期特性：,可大于1。,（三）复变函数例,1.2 复变函数,（一）复变函数的极限与连续性,设w=f(z)在z,0,点的某邻域,有定义，对于任意,0，,若存在0，使得 时，有,则称,w,0,为,z z,0,时极限,，计为,1),z在全平面，z z,0,的方式是任意的,（,比实变函数要求更高）,1、复变函数的极限,2),w,0,是复数.,3),若f(z)在处有极限,其极限是唯一的,注：,1.3 复变函数的导数,若 在 处连续，则有,（一）复变函数的极限与连续性,若 时，有,，称,f(z),在,z,0,点连续,2、复变函数的连续性,若,f(z),在区域D内,处处连续,，则称,f(z),在区域D内连续,1.3 复变函数的导数,（二）导数定义与求导,设,w=f(z),是在,z,点及其邻域定义的,单值函数,，如果极限,存在，并且与,z,0,的方式无关,，则称函数,w=f(z),在点z处,可导,，该极限值称为函数,f(z),在点z处的,导数,，即,1、定义,1.3 复变函数的导数,（二）导数定义与求导,1.3 复变函数的导数,实变函数中的求导公式和法则可应用于复变函数。,2、复变函数的求导法则,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,实变函数求导：,x,沿实数轴趋近0,复变函数求导：,z,沿实平面任一,曲线趋近0,复变函数可导远比实变函数可导要求严格。,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,1、柯西-黎曼条件（C-R条件）,必要条件,若函数,f(z),在点,z,可导，则,z,沿实轴(x轴)和虚轴(y轴)趋近于0应相等，即：,=,=,沿x轴：,沿y轴：,柯西-黎曼条件,（C-R条件）,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,柯西-黎曼条件,不是,复变函数可导的充分条件。,例：,证明 在,z,=0处满足C.R.,条件，但在,z=0,处不可导。,证：,满足C.R.,条件,而令 ，则,随而变，极限不存在。,在,z=0,处不可导,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,2、复变函数可导的充要条件,函数,f(z),在点,z,可导的,充要条件,是：,1）在点z处,存在,且,连续,；,2）,满足柯西-黎曼条件,。,证明：,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,2、复变函数可导的充要条件,(续）,由C-R,条件,该极限为有限值且与,z-0的方式无关可导。,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,3、复变函数导数的计算公式,1）可导函数的实部与虚部有密切的联系。当函数可导时，,仅由其实部或虚部即可求得导数,。,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,2）利用该条件可以判断函数是否可导。,注：,3）复变函数导数求解步骤：,I )判别,u,(,x,y,)，,v,(,x,y,)偏导数的连续性,II)验证C-R条件,III)由实部或虚部求导数：,3、复变函数导数的计算公式,（续）,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,4、极坐标系中的柯西-黎曼条件,复数的极坐标表示应用广泛，极坐标系中的柯西-黎曼条件也有应用价值。,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,3、极坐标系中的柯西-黎曼条件,（续）,例：判定函数 平面上何处可导？,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,解：,由柯西-黎曼条件：,可知：在曲线 上函数可导。,（一）解析函数及其性质,1.4 解析函数,1、解析函数的定义,若,w=f(z),在,z,0,点,及其邻域,上处处可导，称,f(z),在,点,z,0,解析,若,w=f(z)是,在,区域,B,上任意点,可导,，称,f(z),在,区域,B,解析,1）在,某个区域,上，函数可导与解析是等价的。,注：,2）函数,f(z),在区域B内解析的,充要条件,是：,a）在区域B内,可导且连续,；,b）满足,柯西-黎曼条件,。,3）某区域内,解析函数在该区域必有,任意阶,导数,例：判定函数 在z平面上何处解析？,（三）复变函数可导的充要条件,1.3 复变函数的导数,解：,函数在曲线 上可导。,在z平面内处处不解析。,例：证明：,f(z)=e,x,(cosy+isiny),在复平面上解析,，且,f(z)=f(z)。,证：,在复平面上均一阶偏导连续且满足C.R.,条件解析,（一）解析函数及其性质,1.4 解析函数,定义1：在某区域上有,连续二阶偏导数,，且满足,拉普拉斯方程,的函数，称为,调和函数,。,（一）解析函数及其性质,1.4 解析函数,2、解析函数的性质,由C.R.,条件,前一式对,x,求导，后式对,y,求导，相加,同理,共轭调和函数,定义2：若两调和函数分别为,同一,复变函数的,实部和虚部,，则称为,共轭调和函数,。,（一）解析函数及其性质,1.4 解析函数,性质一,：若函数,在区域B上解析，则,为区域B上的,共轭调和函数,。,2、解析函数的性质,（续）,性质二,：若函数,在区域B上解析，则,是,相互正交,的两组曲线.,证：,（二）解析函数的确定,1.4 解析函数,若只给定一个二元调和函数,u(x,y),或,v(x,y),，可利用,C.R.,条件,，求出其共轭调和函数,v(x,y),或,u(x,y),，确定解析函数,具体方法：,设已知,u(x,y)，,求,v(x,y),全微分式,（二）解析函数的确定,1.4 解析函数,求解方法：,方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）,方法二、凑全微分显式法,方法三、不定积分法,例：已知解析函数实部,u(x,y)=x,2,-y,2,，,求,v(x,y)。,解：,故,u,为调和函数,（二）解析函数的确定,1.4 解析函数,方法一、曲线积分法,例：已知解析函数实部,u(x,y)=x,2,-y,2,，,求,v(x,y)。,解：,（二）解析函数的确定,1.4 解析函数,方法二、凑全微分显式法,例：已知解析函数实部,u(x,y)=x,2,-y,2,，,求,v(x,y)。,解：,（二）解析函数的确定,1.4 解析函数,方法三、不定积分法,对第二式对y积分，视,x,为参数，则有：,例：已知解析函数,f(z),实部 ,求,v(x,y),解：,化为极坐标求解,（二）解析函数的确定,1.4 解析函数,1.5 单值函数与多值函数,单值函数,：,复数平面上点集E中的每一个点 ,均按照某种映射关系，与,一个,复数值对应，单值复变函数。,多值函数,：,复数平面上点集E中的每一个点 ,均按照某种映射关系，与,多个,复数值对应，单值复变函数。,1.5 单值函数与多值函数,（一）初等单值函数,1、幂函数,当n是,正整数,或,0,在复平面上解析。,2、多项式函数,在,复平面,上解析.,3、有理函数,在复平面上,除使,Q(z),=0,的点外,解析,1.5 单值函数与多值函数,（一）初等单值函数,4、指数函数,()e,z,0,因为|e,z,|=|e,x,e,iy,|=e,x,0.,()对于实数z=x(y=0)来说,我们定义与通常实指数函数的定义是一致的.,(),e,z1,e,z2,=e,z1+z2,.,()w=e,z,在复平面上解析,且,(),由欧拉公式:,由此可得正弦函数、余弦函数:,（一）初等单值函数,1.5 单值函数与多值函数,5、正、余弦函数,有:,（一）初等单值函数,1.5 单值函数与多值函数,性质1:在复平面上解析,且,性质2：,sinz,是奇函数,cosz,是偶函数,它们遵从三角公式,性质3：,sin z,及,cos z,以 为周期.,正弦函数、余弦函数性质：,性质4：,sinz=0,必须且只须,cosz=0,必须且只须,（一）初等单值函数,1.5 单值函数与多值函数,正弦函数、余弦函数性质（续）：,性质5：在复数范围内,不再能断定,通过,sinz,cosz,我们可以依照通常的关系定义正切、余切、正割、余割.,（二）初等多值函数,1.5 单值函数与多值函数,根式函数、对数函数等均为多值函数。,1、根式函数,即：,多值函数,造成根式函数 多值的原因：,（二）初等多值函数,1.5 单值函数与多值函数,考察,z,的连续变化：,(1),z,从给定点,z,0,出发，对应的值,w,从,w,0,出发；,z,环绕原点(,z,=0)转一圈回到原处，辐角变为,0,+2,，而,w,由,w,0,变为,w,1,，即,w,从一个单值分支变到另一个单值分支；,继续沿逆时针方向绕,z,=0 转一圈，,z,再次回到原处，辐角变为,0,+4,，而w由w,1,变为w,0,。,如路径未包围原点,(,z,=0),则w始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支,z,的辐角的多值性，即,2、单值分支,多值函数的每个值称为单值分支。,如 的两个单值分支分别为：,2)所有分支值域合起来覆盖整个,w,平面。,（二）初等多值函数,1.5 单值函数与多值函数,1)单值分支间值域互不交迭。,注：,（二）初等多值函数,1.5 单值函数与多值函数,3、支点,支点特性:,当z绕任一包围它的,路径一周,并回到原处时,函数值不复原，多值函数值由一个分支变到另一个分支，具有这种性质的点称为多值函数的,支点,。,显然：,z=0，z=,均为 的支点。,若,z,绕支点,n,周后，函数值,w,复原，则称该支点为,n-1,阶支点,。,注：,例：的割缝：其支点为,z=0，z=,（二）初等多值函数,1.5 单值函数与多值函数,4、支割线,在两个支点之间作割缝，并规定：z在连续变化的过程中不能跨越割缝，该割缝所在位置称为割线。,从,z,=0出发，沿,x,轴正方向作一割缝至,z,=。此时，,z,无,论在平面上怎样变化都不可能绕,z,=0或,z,=转一圈，则辐,角的变化范围在2,之内，由此可知，,w,的值必在一个单值,分支之内。,（二）初等多值函数,1.5 单值函数与多值函数,5、黎曼面,中，z的第一圈和第二圈分别在“不同的”复数平面上运行，即将z平面分为两叶平面。,为了将各个分支作为整体来研究：,(1)第一页的下岸与第二页的上岸,=2,粘合在一起;,(2)第二页的下岸与第一页的上岸,=0粘合在一起。,形成的面称为黎曼面。,（二）初等多值函数,1.5 单值函数与多值函数,6、几个常见多值函数,1）对数函数Lnz,定义：若 ，则称 为 的对数函数，记为,注：时，未定义。,令:,（二）初等多值函数,1.5 单值函数与多值函数,6、几个常见多值函数,2）一般幂函数,定义：,：当 时，为幂函数单值解析函数,：当 时，为,：其他情况时：,时有意义。,由于 具有多值性，故函数也具有多值性。,（二）初等多值函数,1.5 单值函数与多值函数,6、几个常见多值函数,3）一般指数函数,定义：,由于 具有多值性，故函数也具有多值性。,（二）初等多值函数,1.5 单值函数与多值函数,6、几个常见多值函数,例：求,解：,例：求,解：,2.2 柯西定理,2.3 不定积分,2.1 复变函数的积分,第二章 复变函数的积分,第一篇 复变函数论,2.4 柯西公式,设：(1),连续,复变函数,（一）复变函数积分定义,2.1 复变函数的积分,(2)C为,区域D,内一条AB的,有向,光滑路径。,(3)将C划任意分成n个小段，端点为z,0，,z,1，,z,n。,(4)在每一小段,z,k-1,，z,k,上，任取,k,，做乘积 。,(5)做和式 。,若：无论如何分割C，极限,存在,，,且,与,k,选取,无关,，则称此极限为 沿C从A到B的,路积分,（二）复变函数积分的计算公式,2.1 复变函数的积分,复变函数的路积分可以,归结为两个实变函数的线积分,。因此实变函数线积分的很多性质可以应用到复变函数中。,函数积分表示为：,由于 ，则,例：计算积分,分别沿路径(1)和(2),如图,解：,路径(1),由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关,路径(2),(1),(2),2.1 复变函数的积分,2.2 柯西定理,柯西定理揭示了复变函数的,积分值与积分路径的关系,。,（一）单通区域柯西定理,若函数 在,闭单连通区域,上解析，为区域内任意分段光滑闭合曲线（也可为 边界曲线），则有,格林公式：,由柯西-黎曼条件：,单通区域柯西定理,2.2 柯西定理,（一）单通区域柯西定理,若函数 在,单连通区域,上解析，在闭单通区域 上连续，,为区域内任意分段光滑闭合曲线（也可为 边界曲线），则有,单通区域柯西定理推论,推论一：,推论二：,单连通区域中解析函数,f(z),的积分值,与路径无关,。,A,B,l,2,l,1,证明：,若 是闭复通区域上的单值函数，则,2.2 柯西定理,（二）复通区域柯西定理,将单连通区域中的奇点排除后，即形成复通区域。,复通区域柯西定理,式中：,l,为区域外境界线，,l,i,为区域内境界线。,境界线,正方向,的规定：,观察者正方向前进时，区域总在观察者左边。,外境界线正向：逆时针，内境界线正向：顺时针,l,l,1,l,2,2.2 柯西定理,（二）复通区域柯西定理（续）,l,2,l,1,l,A,B,A,B,C,D,C,D,证明：,将复通区域做割线连接内外境界线，则复通区域变单通区域。由单通区域柯西定理，得：,:逆时针方向积分,关于柯西定理的说明：,1、闭,单通区域,上解析函数沿境界线积分为0；,2、闭,复通区域,上解析函数沿,所有内外境界线正方向,积分之和为0；,3、闭复通区域解析函数沿外境界线逆时针方向积分,等于,沿所有内境界线逆时针方向积分之和。,4、在闭单通或闭复通区域上的解析函数，只要起点和终点固定，积分结果与积分路径无关。,2.2 柯西定理,由柯西定理：单连通区域中，解析函数,f(z),的路径积分值与路经无关，只与起点、终点有关。,故：,固定起点,z,0,，,则,不定积分,可以证明：,2.3 不定积分,定义了一单值函数，且,F(z),是,f(z),的,原函数,，即：,（一）复变函数不定积分定义,路积分的值等于原函数改变量。,（重要例题）,：计算积分,l,C,R,（n,为整数）,解：,n,N,时有,式中,p,为任意正整数。,柯西收敛判据,3.1 复数项级数,（一）复数项级数的收敛与柯西判据,3、绝对收敛,若复数项级数各项的模组成的级数,收敛，则称级数,绝对收敛,。,1）绝对收敛的复数项级数必然收敛。,注：,2）两个绝对收敛级数的和或积仍绝对收敛。,复级数的每一项都是复数的函数，即为复变函数项级数：,3.1 复数项级数,（二）复变函数项级数,由柯西判据，知,复变项级数在区域 B 中收敛的,充要条件,：,对于,任一,小的正数 ，必存在,N(z),使得,n,N(z),时有,式中,p,为任意正整数。,若,N,与,z,无关,，则称该复变函数项级数在B内,一致收敛,。,注：,3.1 复数项级数,（二）复变函数项级数,复变函数项级数相关性质：,1、若复变函数项级数在区域,B,（或路径,l,)上一致收敛，且每一项都在区域,B,(或路径,l,）上连续，,则级数和,也是区域,B,(路径,l,）内连续函数。,2、在区域B内，若复变函数项级数 的各项的模,而常数项级数 收敛，则称 在区域B上,绝对且一致收敛,。,3.2 幂级数,（一）幂级数定义,幂级数是指各项都是幂函数的,复变函数项级数,。,称为,以,z0,为中心的幂级数,。其中，各系数项,均为,复常数,。,3.2 幂级数,（二）幂级数的收敛性判别达朗贝尔判别法,1、达朗贝尔收敛判据（比值判别法）,由正项级数的,比值判定法,可知，若模级数,考察幂级数各项的模组成的级数,则模级数收敛。由绝对收敛定义，知幂级数,绝对收敛。,3.2 幂级数,2、收敛圆,由前可知，幂级数绝对收敛条件为：,引入 ，则,幂级数绝对收敛条件,变为：,收敛圆：,以,z,0,圆心，半径为,R,的圆。,R,称为,收敛半径,。,幂级数在收敛,圆内绝对,收敛，而在,圆上,和,圆外可能,发散。圆外仍可能有区域是收敛的。,（二）幂级数的达朗贝尔收敛性判据,若,，则幂级数,发散,；,若,，则模级数,收敛,，幂级数,绝对收敛,；,3.2 幂级数,3、根值判别法：,（三）幂级数的收敛性判别根值判别法,由此可得收敛半径的另外一种定义：,例：求幂级数 的收敛圆（,t,为,复变量）。,解：,则收敛半径:,故，收敛圆为以,t=0,为圆心，半径为1的圆。,3.2 幂级数,例：求幂级数 的收敛圆。,解：,则收敛半径:,故，收敛圆为以,z=0,为圆心，半径为1的圆。,3.2 幂级数,另解：,则收敛半径:,例：求幂级数 的收敛圆。,解：,则收敛半径:,故，收敛圆为以,z=0,为圆心，半径为2的圆。,3.2 幂级数,3.2 幂级数,（四）幂级数的积分表示,将上式沿收敛圆取路径积分，并利用,柯西公式,，可得：,在收敛圆内，幂级数的和可表示为连续函数的回路积分,在收敛圆内幂级数和为解析函数,。,3.3 泰勒级数,任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数。,问题：,解析函数任意阶导数都存在，是否可将解析函数展开为复变函数项的泰勒级数呢？,可以！,3.3 泰勒级数展开,泰勒级数展开定理：,设 在以 为圆心的圆 内解析，则对圆内任意点 ，可展开为,其中,即：,泰勒级数,3.3 泰勒级数展开,证明：,设 在收敛圆 内解析，则由柯西积分公式,而,由于,为积分路径上点，而,z,为积分路径内点，故有,等比数列,3.3 泰勒级数展开,证明(续)：,3.3 泰勒级数展开,例,（重要）,：在,z,0,=0的邻域上将 展开为泰勒级数。,解：,（展开时能直接求导就求导）,3.3 泰勒级数展开,例,（重要）,：在,z,0,=0的邻域上将 展开。,解：,b,B,3.4 解析延拓,（一）解析延拓概念,考察如下两个函数,在 区域等同,对于某个区域,b,上的解析函数,f,(,z,)，如果能找到,另一个函数,F,(,z,)，它在,含有区域,b,的一个较大的区域,B,上解析，且,在区域,b,上等同于,f,(,z,),，则这个过程就叫,解析延拓,。,解析延拓：,解析延拓就是解析函数定义域扩大后的结果。,3.4 解析延拓,（二）解析延拓唯一性,可以证明：,函数,F,1,(,z,)和,F,2,(,z,)在区域,B,上解析，若在,B,的某,子区域,b,上有,F,1,(z),F,2,(z),，,则在,整个区域,B,上必有,F,1,(z),F,2,(z),。,同一解析函数的解析延拓是唯一的。,3.5 洛朗级数展开,（一）双边幂级数,当所研究的圆域上,存在函数的奇点,时，就不再能将函数展为泰勒级数，而需考虑,在除去奇点的环域上,的展开,洛朗级数展开,。,考察双边幂级数：,收敛半径为,R,1，,在圆,z-z,0,=,R,1,内收敛,令,收敛半径记为1/,R,2，,即在圆,z-z,0,=,R,2,外收敛。,3.5 洛朗级数展开,若,R,2,R,1,，则双边幂级数,在,环域,R,2,z-z,0,R,1,内绝对且一致收敛，其和为一解析函数，级数可逐项求导。,环域,R,2,z-z,0,R,1,称为该双边幂级数的,收敛环,。,（一）双边幂级数（续）,3.5 洛朗级数展开,（二）洛朗级数,洛朗展开定理：,设,f,(z)在环域,R,2,|,z-z,0,|,R,1,的,内部单值解析,，则对环域内任一点,z,，,f,(,z,)可展为幂级数,其中,积分路径,C,为位于环域内按,逆时针,方向绕内圆一周的,任一闭合,曲线。,z,0,R,1,C,R1,R,2,C,R2,C,R1,C,R2,C,洛朗级数展开,证明,：为避免讨论圆周上函数的解析性和级数的收敛问题，将外圆稍微缩小为,C,R1,、内,圆稍微扩大为,C,R2,，利用复通区域上的柯西公式：,3.5 洛朗级数展开,z,0,R,1,C,R1,R,2,C,R2,C,R1,C,R2,C,3.5 洛朗级数展开,注：,因为不满足柯西公式条件。,例：在以z=0为中心的0|z|+,的圆环域内把 展开。,3.5 洛朗级数展开,解:,（直接法）,例：在以z=0为中心的0|z|+,的圆环域内把 展开。,3.5 洛朗级数展开,解:,（间接法）,例：在z=1的邻域上将函数,展开为洛朗级数。,3.5 洛朗级数展开,解:,先将函数分解为,奇点分别为,z=1,和,z=-1,，因此在 环域内解析，故有,例：在 环域上将函数,展开为洛朗级数。,3.5 洛朗级数展开,解:,先将函数分解为,例：在 环域上将函数,展开为洛朗级数。,3.5 洛朗级数展开,解:,例：以z=0为中心将函数,展开为洛朗级数。,3.5 洛朗级数展开,解:,先将函数分解为,奇点分别为,z=1,和,z=2,，因此在,z=0,的邻域上可在三个环状区域内进行级数展开。,3.5 洛朗级数展开,3.6 孤立奇点的分类,（一）孤立奇点与非孤立奇点,孤立奇点：,若函数,f(z),在,某,z,0,点处,不可导，而在其任意小邻域内除,z,0,外,处处可导,，则称,z,0,为,f(z),的孤立奇点。,非孤立奇点：,若函数,f(z),在,某,z,0,点处,不可导，且在的任意小邻域内还可找到,除,z,0,外的,不可导点，则称,z,0,为,f(z),的非孤立奇点。,例:1/z、exp(1/z)、f(z)=1/sin(1/z)在z,0,=0点的情况,3.6 孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,洛朗级数的正幂项(含常数项)部分被称作,解析部分,(或,正则部分,)；负幂项部分被称为,主要部分,(,或,无限部分,),。,a,-1,具有特别重要的地位，特称其为函数,f(z),在奇点,z0,的,留数,。,3.6 孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,例:,z,0,=0为,sin,z,/,z,可去奇点,1、可去奇点,若函数,f,(,z,)在其孤立奇点,z,0,的去心邻域0|,z,-,z,0,|,R,上的洛朗级数中,不含有,(,z-z,0,)的负幂项，则称,z,0,为,f,(,z,)的,可去奇点,。,可去奇点的主要特征,（1）,f,(,z,)在奇点的去心邻域内的洛朗级数中无主要部分；,（2）即,f,(,z,)在,z,0,点的去心邻域内有界。,3.6 孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,2、极点,若函数,f,(,z,)在其孤立奇点,z,0,的去心邻域0|,z,-,z,0,|,R,上的洛朗级数中含有,有限个,(,z-z,0,)的负幂项，则称,z,0,为,f,(,z,)的,极点,。,其中,a,-,m,0，,m,为有限数，则,称,z,0,为,f,(,z,)的,m,阶极点,。,特殊地，,一阶极点称为单极点,。,极点的主要特征：,1.,f,(,z,)在,z,0,的去心邻域内的洛朗级数的主要部分为有限多项；,2.。,例:,f,(,z,)=(,z,-2)/(,z,2,+1)(,z,-1),3,讨论,z,=1,z,=,i,3.6 孤立奇点的分类,（二）可去奇点、极点和本性奇点,3、本性奇点,若函数,f,(,z,)在其孤立奇点,z,0,的去心邻域0|,z,-,z,0,|,R,上的洛朗级数中含有,无限多,(,z-z,0,)的负幂项，则称,z,0,为,f,(,z,)的,本性奇点,。,对于本性奇点,z,0,，当,z,z,0,时，,f,(,z,)的值并不固定，而是与,z,趋于,z,0,的方式有关,。,本性奇点的特征,1.,f,(,z,)在本性奇点,z,0,的去心邻域内的洛朗级数的主要部分为无限多项；,2.当,z,z,0,时，不存在。,例：,z,0=0是,f,(,z,)=exp(1/,z,)的本性奇点,考察解析函数回路积分问题：,第四章 留数定理,情况1：被积函数 在积分回路 所围区域内解析,由柯西定理可知：,情况2：被积函数 在积分回路 所围区域内存在奇点,第四章 留数定理,4.2 应用留数定理计算实变函数定积分,4.1 留数定理,（一）留数,4.1 留数定理,问题：若,f,(,z,)在,l,内有奇点，,情况1：,l,内有一个孤立奇点,z=z,0,z,0,l,l,0,由复通区域柯西定理：,l,0,为包围,z,0,的一个小回路。将,f(z),在以,z,0,为中心的环域上展为洛朗级数,（一）留数,4.1 留数定理,留数定义,：,设 是的孤立奇点，是包围 在内的闭曲线，且不包含的另外奇点，则在 点的,留数,(Residue),定义为,函数在奇点的留数等于函数在该奇点处洛朗级数的 项的系数,（二）留数定理,4.1 留数定理,问题：若,f,(,z,)在,l,内有奇点，,情况2：,l,内有,n,个孤立奇点,由复通区域柯西定理：,（二）留数定理,4.1 留数定理,留数定理：,设函数 在回路,l,所围区域,B,上除有限个,孤立奇点,外解析，在闭区域 上除 外连续，则,留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围各,奇点留数之和,。,（三）留数的计算,4.1 留数定理,留数计算一般方法：,在以奇点为圆心的圆环域上将函数展开为洛朗级数，并取其负一次幂项系数即可。,若奇点为,极点,，可不作洛朗级数展开直接求解。,（三）极点处留数的计算,4.1 留数定理,1、奇点为单极点(一阶极点)时,设,z,0,是,f,(,z,)的一阶极点，即有,特殊地，若,一阶极点,判断依据,（三）留数的计算,4.1 留数定理,2、奇点为m阶极点时,设,z,0,是,f,(,z,)的,m,阶极点，即有,两边乘 ,得到：,m阶极点判据,（三）留数的计算,4.1 留数定理,2、奇点为m阶极点时,为了求,a,-1,对上式求,m-,1,阶导数：,即可得,m,阶极点留数计算公式,：,（三）留数的计算,4.1 留数定理,例1：求 在 处的留数。,另解,m,=?,解：,（三）留数的计算,4.1 留数定理,例2：求 在其奇点 的留数。,解：,z,=,n,为,一价极点,（三）留数的计算,4.1 留数定理,例3：求 在其奇点的留数。,解：,故：z=2,i,为单极点,z=0为三阶极点。,（三）留数的计算,4.1 留数定理,例4：求积分,解：,（三）留数的计算,4.1 留数定理,续前：,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,实变函数积分,复变函数的回路积分,将在区间,l,1,=,a,b,的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来。,基本思想:,方法：,补充线段,l,2,并且,延拓函数到整个复平面,，构成回,路,积分：,x,y,o,a,b,l,1,l,2,b,1,b,3,b,2,b,m,b,k,l,l,=,l,1,+,l,2,易于求解,(一般为0）,利用留数定理求解,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,其中：（1）,R,(cos,x,sin,x,)是 sin,x,cos,x,的有理式；,（2）积分区间是 0,2；,（3）在区间0,2内，无奇点。,（一）类型一：,处理方法：,则原积分变为：,定义域由实数域拓展到复数域,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（一）类型一：,例1:计算积分,解：,被积函数在,0,2内无奇点，满足类型一要求。,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（一）类型一：,例2:计算积分,解：,被积函数有单极点,由留数定理：,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,其中：(1)积分区间是(-,+);,(2)复变函数,f(z),在,实轴上无奇点,，在上半平面除有限个奇点（,b1,b2bn,)外解析；,(3)当 z 在上半平面和实轴上,时，一致的|,z f(z)|,0；,（二）类型二：,特殊地：当,f,(,x,),是有理分式 时：,由条件(1)(2)(3)，要求积分式的分母 在,实轴无零点,，且,分母 的次数高于分子 次数至少二次,。,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,处理方法：,其,积分主值,为：,补充围路如图,作线积分,-,R,+,R,x,y,C,R,b,k,o,R,(留数定理),4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,处理方法：,证明：,条件(3),4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,例题3 求积分,单极点 ，只需考虑,上半平面,极点+i,解：,满足类型二条件要求。,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,例题4 求积分,解：被积函数满足类型二条件要求。,上半平面奇点为,n,阶极点+,i,。,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,（续例题4）,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（二）类型二：,例题5 求积分,解：被积函数为偶函数，故,由例4结论，知：,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,其中：,（1）积分区间 ；,（2）,偶函数,F(z),和,奇函数,G(z),在实轴上无奇点，在,上半平面,除有限个奇点（,b1,b2bn,)外解析；,（3）当,z,在,上半平面,和实轴上,时，一致地,F(z),G(z),0；,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,处理方法：,偶函数,同理可推得：,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,类型二,故：,约当引理,如,m,为正数，,是以原点为圆心且位于上半平面的半圆周，又设当,z,在上半平面及实轴上,时，,f,(,z,)一致地,0,则,-,R,+,R,x,y,C,R,o,R,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,例题6：求积分,解：满足类型三条件要求，故,在,上半平面,内，,z=ia,为一阶极点。,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,例题7：求积分,解：满足类型三条件要求，故,在上半平面内，,z=ia,为二阶极点。,（三）类型三：,例题7：求积分,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（续）,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,例题8：求积分,解：,在上半平面内，,z=i,为其单极点。,满足类型二要求。,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（三）类型三：,例题8：求积分,另解：,4.2 应用留数理论计算实变函数定积分,（四）类型四：,实轴上有单极点的积分,其中：,(1)函数,f(z),在,实轴上有单极点,a，上半平面除有限个奇点（,b,1,b,2,b,n,)外解析；,(2)当 z 在上半平面和实轴上,时，一致地|,z f(z)|,0；或满足类型三的条件（约当引理）。,（非类型二）,4.2 应用留数理