数学解题真经(四)中学数学解题思想与方法.doc

中学数学解题思想和方法---杨飞
在中学数学中，关于数学解题思想和方法，谈得很多，常见的有数形结合思想、构造思想、转化思想、集合映射思想、逻辑分类思想等等。又有人称之为数形结合方法、构造法、参数法等，也有人干脆合二为一，称数形结合思想方法、构造思想与方法。时而思想变成了方法，时而方法又成了思想。其实，并非人们不知道思想和方法的区别，这正说明了数学思想与数学方法关系密切。但是，无论二者关系如何密切，仍为不同的体系。
方法属于方法论的范畴，是在思想指导下，进行实践操作的各种手段和经验的总结，方法是指向实践的，是理论用于实践的中介，方法是实施有关思想的技术手段。
思想属于世界观的范畴，是人们对自然界、人类社会和思维发展各领域认识的客观反映。常常指导人们的实践活动。思想是相应方法的精神实质与理论依据。
所以，数学解题思想就是从数学问题的解决过程中提炼出来，并能反应解题规律的文字性理论，是对加工处理问题信息时所运用的方法、所采取的手段以及思维活动的本质反映。它对问题解决有指导作用。数学解题方法对解题实践也有一定的指导作用，但它不及数学解题思想抽象、概括、深刻，指导我们解题实践活动的范围也不及解题思想广泛。数形结合、构造、逻辑分类等等都是解题方法，不能作为解题思想。
第一、它们只是对某一类或某一系列数学问题的解答具有指导作用，不能对所有的数学问题的解决作指导。例如，数形结合方法就是把一个数学问题的“形”和“数”的信息紧密结合起来，这对解题固然重要。但并非每一个数学问题中都含有“形”的信息，有些纯代数问题中只有“数”的信息。如果要把这些“数”的信息强制性与某种“形”的信息联系起来，这是难以实现的。
例1 已知为满足的正数，或，求证：
。（当时为第37届IMO预选题）
证明：因，所以.
。
，
类似可得；。
三式相加可证。（如此巧妙的解答何以得来？请读者思考。）
这一道不等式赛题，呈现的全是“数”的信息，要想与某种“形”的知识联系起来，即使擅长化抽象为直观的几何型思维的读者（Kruteskii，1984），也不可能有此超凡能力。
第二、它们只是反映了解题过程中操作活动的特点，没有揭示思维活动的规律，人们为什么要构造函数，为什么会采用数形结合，是什么驱使我们实现这一切实践操作活动？为什么不同的人对同一个问题会采取不同的解题措施？产生这些结果的根源是什么？都没有彻底揭示出来。
例2 设 且，求证：。
证法1（柯西不等式法）：，从而得证.
证法2（三角变换法）：因 ，
设，，.

又因，又令，，则
，从而得证.
这些解题方法可以促使解题策略的产生吗？如果我们不知道柯西不等式，可能产生证法1吗？如果我们没有扎实的三角知识，能够实现证法2吗？显然，大脑的熟悉结构关系到解题策略的产生，也支配着我们的一切解题思维活动。上述两种方法都是熟悉结构与问题信息相互作用的结果。
第三、这些方法仅从问题解决的操作过程的特点来命名，脱离了心理学和学习理论的依据。例2中证法1的柯西不等式法、证法2的三角变换法都是根据解题过程所用的公式或知识来命名的，这只是旁观者对解题过程的总结和评价，并非对解题者思维活动的客观反映。对我们解题没有什么指导作用，不能作为数学解题思想。
数学问题的解决就是人们感知问题情景呈现的各种信息后，把问题信息与认知结构相互作用，寻找问题信息与大脑中认知结构之间的联系，从而改变大脑认知结构的过程。所以问题解决的过程中包含着两种活动。第一种活动，就是加工信息所采取的实践操作活动，即采取哪些方法和手段进行信息加工。第二种活动，是信息加工的思维活动。即支配我们寻找加工信息的方法、策略的内在思维活动。所以，数学解题思想就是对这两种活动客观的、内在的、本质的反映。我们认为第一种活动的规律是化归思想，第二种活动的规律是寻旧思想。所以，数学解题思想就是化归寻旧思想。