第11讲点线面之间的基本关系（学生）.doc

第11讲 点线面之间的基本关系

1. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：

公理1
公理2
公理3
图形语言

文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言

2. 空间两条直线的位置关系：
3. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.
4. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：；；.
5. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；.

【例1】 空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.

【例2】．正方体中,E、F、G、H、K、L分别是 的中点. 求证：这六点共面．

【例3】（1）在平面α外，，，，求证：P，Q，R三点共线.
（2）已知四边形ABCD中，AB∥CD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线.

【例4】在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA1与C1D1的中点，由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？

【例5】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（ ）.
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条

【例6】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.

【例7】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.
（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；
（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.

【例8】已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小.

【例9】设异面直线a与b所成角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ的直线l有且仅有几条?

【例10】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.

A
B
C
D
E
F
G
H
【例11】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.
求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.

【例12】如下图，设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=== .试求的值.

【例13】空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1）求证：四边形PQRH是平行四边形； （2）若AC=BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（3）若AC⊥BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（4）空间四边形ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形？

练习：
1．【2008年宁夏文】 12．已知平面平面，，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β
2．【2007广东文】6．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题
中为真命题的是
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则

3．【2008年广东理】 如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，。垂直底面，。分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）证明：是直角三角形；
（3）当时，求的面积．

4．【2008年广东文】如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，。
（1）求线段PD的长；
（2）若，求三棱锥P-ABC的体积。

5．【2008年江苏】16．如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：
（1）直线平面；（2）平面平面．

6．【2008年山东文】 19．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．
（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．