乌鲁木齐地区2013年高三年级第一次诊断性测验文科数学试题答案及评分标准.doc

2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷
文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
D
C
B
A
D
A
B
B
C
B
D
B

1.选D.【解析】.
2.选C.【解析】，其共轭复数为，即，所以.
3.选B.【解析】，.
4.选A.【解析】的定义域为记，则，故是奇函数.
5.选D.【解析】函数的零点就是方程的根，
作出的图象，观察它与直线的交点，得知当时，或时有交点，即函数有零点.
6.选A.【解析】由，，解得，再由：
，解得.
7.选B.【解析】，所以，即，所以，由过点，即，，
解得，函数为，由，
解得，故函数单调递增区间为.
8.选B.【解析】依题意，有，故.
9.选C.【解析】（略）.
10.选B.【解析】双曲线的渐近线为，抛物线的准线为，设，当直线过点时，.
11.选D.【解析】易知直线的方程为，直线的方程
为，联立可得，又，
∴，，∵为钝角
∴，即，化简得，即，故，即，或，而，所以.
12.选B.【解析】设中，分别是所对的边，由
得.
即，∴.
∴，即，
∴.
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13.填．【解析】设遮住部分的数据为，，
由过得
∴，故．
14.填．【解析】平面∥平面，∴到平面的距离等于平面与平面间的距离，等于，而，
∴三棱锥的体积为.
15.填．【解析】，点每秒旋转，所以秒旋转，，，则.
16.填.【解析】设直线的方程为，则直线的方程为，
则点满足故，
∴，同理，
故
∵（当且仅当时，取等号）
∴，故的最小值为.
三、解答题：共6小题，共70分.
17.（Ⅰ）设的公比为，的公差为，依题意
解得，或（舍） ∴，； …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
因为，
所以，即，∴最小的值为6. …12分

18．（Ⅰ）记“从天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，
∵从天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出天，有
，，，
，，，
，，，
，，共种情形，其中恰有一天空气质量达到一级的有，，，，，
共种情形，∴； …6分
（Ⅱ）依题意可知，这天中空气质量达到一级的有天，那么供暖期间估计（按天计算）有天的空气质量达到一级. …12分
19．（Ⅰ）连接，设，则⊥平面，
连接，设，由，～，
得 ∴为的中点，而为的中点，故∥
在上取一点，使，同理∥，于是∥
在正方形中∥，∴平面∥平面，又平面
∴∥平面； …6分
（Ⅱ）延长至使，连接,则∥且
延长至使，连接,，则∥且
∴相交直线与所成的不大于的角即为异面直线与所成的角
连接，在中，
∴，∴，即⊥． …12分

20．（Ⅰ）⊙的半径为，⊙的方程为，
作⊥轴于，则，即，则（是过作直线的垂线的垂足），则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．
∴点的轨迹的方程为； …6分
（Ⅱ）当不与轴垂直时，直线的方程为，由得
，设，则
∴，
当与轴垂直时，也可得，
综上，有． …12分
21．（Ⅰ）函数的零点的集合为，则方程 的解可以为，或.
∴或.
①若，则.
当，或时，，函数为增函数；当，，函数为减函数；
∴，为函数的极值点．与题意不符．
②若，则
当，或时，，函数为增函数；当，，函数为减函数；
∴，为函数的极值点．
综上，函数，即，
而，故，∴ …6分
（Ⅱ）设过点的直线与曲线切于点，
由（Ⅰ）知，∴曲线在点处的切线方程为，
∵满足此方程，故，又
即，∴.
，或…①，关于的方程的判别式
当或时，，方程①有两等根或，此时，过点或与曲线相切的直线有两条；
当时，，方程①无解，此时过点与曲线相切的直线仅有一条；
当或时，，方程①有两个不同的实根，此时过点与曲线相切的直线有三条. …12分
22．（Ⅰ）连接，∵是的直径，∴.
∴.
∵，∴，
∵是弦，且直线和切于点，
∴.
∴，即平分； …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，由此得
∵，∴，于是，
故的大小为． …10分
23．（Ⅰ）设曲线上任一点为，则在圆上，
于是即.
直线的极坐标方程为，将其记作，
设直线上任一点为，则点在上，
于是，即：，
故直线的方程为； …5分
（Ⅱ）设曲线上任一点为，
它到直线的距离为，
其中满足：.
∴当时，. …10分
24.（Ⅰ）． …5分
（Ⅱ）∵，
∴要使成立，需且只需.
即，或，或，解得，或
故的取值范围是. …10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．

2013年高三年级第一次诊断性测验文科数学答案第8页（共8页）